标签：代码 有关 多重 数值 基础 怎么 运算符 维护 lock
作者：sshwy
黄队稳了！
首先，在具备基础的线段树知识后，我们以结构化的语言描述线段树维护序列区间变动信息的方式：
首先有若干种对序列区间的数据的操作\(\alpha_1,\ldots,\alpha_k\)，以及若干种数据分析操作（求值）\(\beta_1,\ldots,\beta_l\)。在代码实现的过程中我们通常对每种操作使用一个标记\(a_1,\ldots,a_k\)，对每种分析维护一个权值\(b_1,\ldots,b_l\)。这些标记和权值构成了线段树上一个结点的信息。
使用线段树维护的信息，需要满足 \(\beta_1,\ldots,\beta_l\) 都具有结合律或者前缀结合律。说白了，就是能够用左右儿子的信息来更新父节点信息。
对于操作，我们要求他们能快速求值。也就是说每个操作\(\alpha_i\)对应一个方法\(A_i(u,v)\)，表示对结点\(u\)代表的区间施加\(\alpha_i\)操作，参数为\(v\)。该方法的复杂度应是\(O(k+l)\)的。通常来说，\(A_i(u,v)\)会对\(u\)的权值和标记都产生影响。它会把\(u\)的权值更新为，进行了\(\alpha_i\)参数为\(v\)的操作后的权值，并累加\(\alpha_i\)操作对应的标记。\(u\)结点的标记是指\(u\)的子节点的尚未进行的操作。说白了，\(u\)的权值是准的，而\(u\)子节点的权值是不准的。
有标记，就有标记的下传。而这就关系到了下传的顺序的问题，也是本文要探讨的重点。
最经典的问题莫过于加乘标记下传问题：
支持区间加，区间乘，区间求和。
结论：先下传乘法标记，再下传加法标记。并且对于乘法操作对应的方法，它需要对加法标记做一定的影响。
换言之，对 \(u\) 的父节点 \(p\) 的两个标记\(p_{\text{add}},p_{\text{mul}}\)，则\(u\)被更新的过程为
注：\(\ell(u)\)表示\(u\)对应区间的长度。
可以发现这个更新本质上是先乘上了\(p_{\text{mul}}\)，再加上了\(p_{\text{add}}\)。并且\(p_{\text{mul}}\)影响了\(u_{\text{add}}\)，也就是标记之间的影响。
那么为什么不能先加后乘？
举个例子。对 \(u\) 的父节点 \(p\) 的两个标记\(p_{\text{add}},p_{\text{mul}}\)，如果我们按照先加后乘的顺序更新
那么，我们考虑\(p_{\text{add}}\)怎么更新\(u_{\text{add}}\)。
我们不能直接\(u_{\text{add}}\gets u_{\text{add}} + p_{\text{add}}\)。因为这就相当于是把 \((v+u_{\text{add}})\times u_{\text{mul}}\) 变成了 \((v+(u_{\text{add}}+p_{\text{add}})\ell(u))\times u_{\text{mul}}\)，而我们想要的是\((v+u_{\text{add}}\ell(u))\times u_{\text{mul}} + p_{\text{add}}\ell(u)\)。这里的\(v\)代指\(u\)的儿子结点。
也就是说，我们必须把\(u_{\text{mul}}\)变成\(1\)，才能\(u_{\text{add}}\gets u_{\text{add}} + p_{\text{add}}\)。把\(u_{\text{mul}}\)变成\(1\)，就意味着将\(u\)的标记下传。因此问题出现了：要下传\(p\)的标记，我们就得下传\(u\)的标记。因此复杂度就不对了。
由此引出了一个问题：两个操作的先后顺序要通过怎样的性质来判断？
回到先乘后加的问题上。为方便后文表述，我们将更新前和更新后的权值做一个区分：
判断这个更新是否合法，主要是比较，对于\(u\)的子节点\(v\)，将\(v\)先用\(u_{\text{add}},u_{\text{mul}}\)更新，再用\(p_{\text{add}},p_{\text{mul}}\)更新：
将\(v\)用\(u‘_{\text{add}},u‘_{\text{mul}}\)更新：
看两者是否相等。显然，代入一下就可以发现，两者的确相等。
这样，我们就可以总结出一般化的线段树多重信息维护方式。
对于操作\(\alpha_1,\ldots,\alpha_k\)，设它们对应的运算符分别为\(\bigcirc_1,\ldots,\bigcirc_k\)。对于分析\(\beta_1,\ldots,\beta_l\)，设它们对应的运算符分别为\(\square_1,\ldots,\square_l\)。那么称由\(\bigcirc_i,\square_i\)和数值交替排列构成的算式为相关多项式。
我们定义变量结点，表示结点的信息都是变量。
如果存在一种更新方式\(u\gets \text{upd}(u,p)\)，使得对于变量结点\(v\)，\(\text{upd}(\text{upd}(v,u),p)\)得到的相关多项式能与\(\text{upd}(v,u)\)的相关多项式的结构一一对应（也就是说变量的系数可以不同，但与变量有关的运算过程是对应的），那么这种更新方式就是满足复杂度要求的，可以应用于线段树。
操作：区间加、区间乘、区间赋值
分析：区间和
顺序：先区间乘，再区间加，最后区间赋值。
则用\(u\)更新\(v\)：
先用\(u\)再用\(p\)更新\(v\)：
这样我们就得到了更新方程：
标签：代码 有关 多重 数值 基础 怎么 运算符 维护 lock
原文地址：https://www.cnblogs.com/dysyn1314/p/13938612.html
