指数分布与泊松分布的关系

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泊松分布的定义

设随机变量 X 所有可能取的值为 0 , 1, 2, ... , 且取各个值的概率为：

其中，\(\lambda > 0\) 是常数，则称 X 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，记作 \(X \sim P(\lambda)\).

指数分布的定义

若连续型随机变量 X 的概率密度为:

其中 \(\lambda > 0\) 为常数，则称 X 服从参数 \(\lambda\) 的指数分布，记为 \(X \sim E(\lambda)\).

指数分布的函数：

指数分布与泊松流的关系

在泊松流中，记时间间隔 \((0, t]\) 中出现的质点数为 X

则 \(X \sim P(\lambda t)\)，即有：

其中参数 \(\lambda\) 称为泊松强度.

记 \(T\) 表示第一个质点出现的时间，则 ${ T > t } \Leftrightarrow $ 在 \((0, t]\) 内没有粒子到达 \(P \{ T > t \} = P \{ X = 0 \} = e^{- \lambda t}\)，即 \(T\) 的分布函数为

注：上面的泊松流指的应该（不确定）是泊松过程：

指数分布与泊松分布的关系

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