标签：距离 container math head 数学 辅助 limit 连线 line
并不是那么容易记住
设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某领域 \(U(x_0)\) 内有定义，并且在 \(x_0\) 处可导，如果对任意的 \(x\in U(x_0)\) ，有 \(f(x)\le f(x_0)\) 或 \(f(x)\ge f(x_0)\) ，则 \(f‘(x_0)=0\) 。
证明：由可导，故 \(f‘_{-}(x_0)=f‘_{+}(x_0)\) ，\(f‘_{-}(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0)-f(x_0-\Delta x)}{\Delta x}\ge 0\) ，\(f‘_{+}(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\le 0\) 。因此有 \(f‘(x_0)=0\) 。
如果函数 \(f(x)\) 满足
(1) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续；
(2) 在开区间 \((a,b)\) 内可导；
(3) \(f(a)=f(b)\) ；
则在 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\) 满足 \(f‘(\xi)=0\) 。
证明：由于在 \([a,b]\) 上连续，因此必然有最大值和最小值，记为 \(M\)，\(m\) 。若 \(M=m\) ，则 \(f(x)=M\) 为常值，即有 \(f‘(x)=0\) 。若 \(M\ne m\) ，而 \(f(a)=f(b)\) ，因此必然存在一个最值点不在端点，而同时 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导，因此由费马引理可知在非端点的最值处有 \(f(\xi)=0\) 。
如果函数 \(f(x)\) 满足
(1) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续；
(2) 在开区间 \((a,b)\) 内可导；
那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\) 满足 \(f(b)-f(a)=f‘(\xi)(b-a)\) 。
证明：观察 \(f(x)\) ，可知两个端点的连线和 \(f(x)\) 的距离的函数满足罗尔定理。构造 \(L_{AB}(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\) ，则 \(AB\) 连线与 \(f(x)\) 的差的函数为 \(\varphi(x)=L_{AB}(x)-f(x)\) 。由罗尔定理，有 \(\varphi‘(\xi)=0\) ，即 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}-f‘(\xi)=0\) ，即得证。
如果函数 \(f(x)\) 和 \(\varphi(x)\) 满足
(1) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续；
(2) 在开区间 \((a,b)\) 内可导；
(3) 对任一 \(x\in (a,b)\) ，有 \(\varphi(x) \ne 0\) 。
那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ，满足 \(\frac{f(b)-f(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}=\frac{f‘(\xi)}{\varphi‘(\xi)}\) 。
证明：取辅助函数 \(\sigma(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}\varphi(x)\) ，即证 \(\sigma‘(\xi)=0\) ，考虑 \(\sigma(a)=\sigma(b)=\frac{f(a)\varphi(b)-f(b)\varphi(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}\) ，符合罗尔定理条件，因此得证。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/amazing-1/p/13969622.html
