为什么梯度的方向与等高线切线方向垂直？

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在三维曲面上的梯度更新过程中，很多地方出现梯度的下降方向是如下这样走的：

图片来源于百度百科
从图上能够看出，也经常听老师同学说起，梯度下降的方向与等高线的切线方向垂直。
那么为什么会垂直呢？其实是一个高数问题。

解释

假设我们的损失函数为z=f(x,y)，在几何上表示是一个曲面，该曲面被平面c（c为常数）所截得的曲线l方程为：

这条曲线l在xoy轴面上的投影是一条平面曲线Q，它在x0y平面直角坐标系中的方程为

则我们称平面曲线Q为函数z=f(x,y)的等高线。
由于等高线f(x,y)=c上任一一点的切线斜率用dy/dx来求。
则等高线f(x,y)=c上任一一点(x,y)处的法线的斜率为：

又因为梯度的计算式子为：

则可以得到梯度的方向为：

从上可以看出梯度的方法与等高线f(x,y)=c上任一一点的法线斜率是相同的。
这也就解释了为什么梯度的方向与等高线切线方向垂直的原因。

结论如下：

函数z=f(x,y)在点p(x,y)的梯度的方向与过点p的等高线f(x,y)=c在这点的法线一个方向相同。
梯度的方向与等高线切线方向垂直
致谢：
怀鹏师兄、澔洋、朱博、陈博

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为什么梯度的方向与等高线切线方向垂直？

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