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格林公式及其推论的推导与应用

时间:2020-12-03 11:36:30      阅读:3      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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格林某式: 设闭区域 \(D\) 由分段光滑的曲线 \(L\) 所围成,函数 \(P(x,y)\)\(Q(x,y)\)\(D\) 上具有一阶连续 偏导数,则有\(\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy\)其中 \(L\)\(D\) 的取正向的边界曲线.

证明

有人讲推没推导一下格林公式反映学习态度,乐乐表示实名害怕。为了证明我是真的有认真在学习,就勉为其难简单推一下算了。


二重积分和曲线积分的相似之处就是最终总会转化为定积分求解,不如把式子里四个积分都拿出来转化成定积分。
\(\iint \limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}dxdy\) ???? \(\iint \limits_D \frac{\partial P}{\partial y}dxdy\)

\(\oint_L P(x,y)dx\)????\(\oint_L Q(x,y)dy\)

就这四个


假设区域 \(D\) 是X&Y型,可转定积分如下:

  1. 当Y型:
    技术图片
  2. 当X型:
    技术图片

于是发现\(\iint \limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}dxdy=\oint_L Q(x,y)dy\)

\[-\iint \limits_D \frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\oint_L P(x,y)dx \]

一经叠加就有:

\[\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy \]

故在X&Y型区域上格林公式得证。


对于任意非X&Y型区域或者多连通区域,总能划分成若干X&Y型单连通区域。

技术图片

故只要闭区域由任意分段光滑的曲线围成,且函数 \(P(x,y)\)\(Q(x,y)\)在 该区域上 上有一阶连续偏导数,\(\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy\)就成立,格林公式就得证了。

推论


面积公式曲线积分形式

\(A=\iint\limits_D dxdy=\frac{1}{2}\iint\limits_D \frac{\partial (x)}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y}dxdy=\oint_L xdy-ydx\)
(为直角坐标形式,参数形式也直接往里代,积分上下界就是 \(t\) 的范围)

曲线积分与路径无关的条件

当区域内\(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\) 或者说 \(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\)时,

\[\oint_L Pdx+Qdy=\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0 \]

任意两个起点终点分别相同而路径不同的曲线\(L_1\),\(L_2\)\(L_1\)\(L_{2^-}\)总能构成闭合曲线 \(L\)

\[0=\oint_L Pdx+Qdy=\oint_{L_1} Pdx+Qdy+\oint_{L_2^-} Pdx+Qdy \]

\[=\oint_{L_1} Pdx+Qdy-\oint_{L_2} Pdx+Qdy \]

\[\oint_{L_1} Pdx+Qdy=\oint_{L_2} Pdx+Qdy \]

即与路径无关.


待续

格林公式及其推论的推导与应用

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原文地址:https://www.cnblogs.com/zouludaxia/p/14052989.html

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