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格林某式: 设闭区域 \(D\) 由分段光滑的曲线 \(L\) 所围成,函数 \(P(x,y)\)及\(Q(x,y)\)在 \(D\) 上具有一阶连续 偏导数,则有\(\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy\)其中 \(L\) 是 \(D\) 的取正向的边界曲线.
有人讲推没推导一下格林公式反映学习态度,乐乐表示实名害怕。为了证明我是真的有认真在学习,就勉为其难简单推一下算了。
二重积分和曲线积分的相似之处就是最终总会转化为定积分求解,不如把式子里四个积分都拿出来转化成定积分。
\(\iint \limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}dxdy\) ???? \(\iint \limits_D \frac{\partial P}{\partial y}dxdy\)
\(\oint_L P(x,y)dx\)????\(\oint_L Q(x,y)dy\)
就这四个
假设区域 \(D\) 是X&Y型,可转定积分如下:
于是发现\(\iint \limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}dxdy=\oint_L Q(x,y)dy\)
一经叠加就有:
故在X&Y型区域上格林公式得证。
对于任意非X&Y型区域或者多连通区域,总能划分成若干X&Y型单连通区域。
故只要闭区域由任意分段光滑的曲线围成,且函数 \(P(x,y)\)及\(Q(x,y)\)在 该区域上 上有一阶连续偏导数,\(\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy\)就成立,格林公式就得证了。
\(A=\iint\limits_D dxdy=\frac{1}{2}\iint\limits_D \frac{\partial (x)}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y}dxdy=\oint_L xdy-ydx\)
(为直角坐标形式,参数形式也直接往里代,积分上下界就是 \(t\) 的范围)
当区域内\(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\) 或者说 \(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\)时,
任意两个起点终点分别相同而路径不同的曲线\(L_1\),\(L_2\),\(L_1\)与\(L_{2^-}\)总能构成闭合曲线 \(L\)
则
即与路径无关.
待续
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原文地址:https://www.cnblogs.com/zouludaxia/p/14052989.html