标签：数学 time 初中 反思 二次 问题 cos 答案 活性
三角函数中角的拆分与整合，是个技术活；
在求解三角函数问题时，常常需要对题目中给定的角进行拆分与整合，如果不做拆分和整合工作，也许能做出问题的答案，但是有些问题会非常麻烦，还有角的拆分和整合技巧，也能体现我们的数学素养的高低和思维的灵活性，尤其在充分恰当的利用已知条件上，体现的淋漓尽致；
法1：不做拆分与整合工作的解法；
将 \(\sin(\alpha-\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{15}{17}\)打开整理，即\(\cfrac{1}{2}\sin\alpha-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=\cfrac{15}{17}\)，
则联立平方关系，得到\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{1}{2}\sin\alpha-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=\cfrac{15}{17}}\\{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)
接下来，转化为关于\(\sin\alpha\)的二次方程求解即可，思路很清晰，但是运算确实比较难；我算到一半就放弃了；
法2： 采用拆分与整合工作的解法；
因为 \(\alpha\in(\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{5\pi}{6})\)，所以 \(\alpha-\cfrac{\pi}{3} \in(\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{\pi}{2})\) 是锐角，\(\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})>0\)，
\(\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})=\sqrt{1-(\cfrac{15}{17})^{2}}=\cfrac{8}{17}\)，
所以 \(\sin\alpha=\sin\left[(\alpha-\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{3}\right]\)将待求角拆分为已知角和特殊角之和，能有效的利用已知条件和已知数据，降低运算和思维的难度。\(\quad\).
\(=\sin(\alpha-\cfrac{\pi}{3})\cos\cfrac{\pi}{3}+\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})\sin \cfrac{\pi}{3}\)
\(=\cfrac{15}{17}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{8}{17}\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{15+8\sqrt{3}}{34}\)， 故选 \(D\).
反思总结：
三角函数化简时需要用到拆分与整合；
三角函数求值时需要用到拆分与整合；
三角函数证明时需要用到拆分与整合；
\(47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}\)；\(8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}\)；
初中我们需要掌握\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}\)，\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{2\pi}{3}=\pi\)，
\((\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；\((\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；
\(2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})\)；\(2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})\)；
\((75^{\circ}+\theta)+(15^{\circ}-\theta)=90^{\circ}\)；
\(2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)；\(2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)\)；
\(3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)\)；\(3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)；
\(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta\)；\(\beta=\alpha-(\alpha-\beta)\)；
\(\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)；\(\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)；
\(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta\)；\((\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}\)；\((\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}\)；
\((\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi\)；\((\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi\)；
\(\theta+\cfrac{\pi}{6}=(\theta-\cfrac{\pi}{6})+\cfrac{\pi}{3}\)；\(\theta-\cfrac{\pi}{6}=(\theta+\cfrac{\pi}{6})-\cfrac{\pi}{3}\)；
其实在三角函数中，有关函数的拆分与整合，也是我们需要注意积累的；比如以下：
\(1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}\)
\(1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}\)
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