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行列式性质及计算

时间:2020-12-11 11:49:15      阅读:6      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:线性   nbsp   交换   展开   元素   其他   就是   第一个   解方程   

行列式的性质:

1.规定行列式每一项的名称:第一行第一个为a11,第一行第二个为a12,第三个为a13....第二行第一个为a21,第三行第一个为a31....

行列式的转置,就是将每一项下标的行和列交换。或者说行列式每一行转为列,列转为行

行列式和它的转置行列式,值相等;

2.互换行列式任意两行/列,值会变号;

3. 行列式某一行/列都乘一个系数k,最后的值会乘k;

4. 行列式中有某两行/列成比例,那么行列式的值为0;

5. 行列式的某一行/列,每一项都拆成两项。那么行列式可以被拆成两个行列式之和,各自取一项,其他行/列不变。

6. 某行/列 乘k倍加到另一行/列,行列式值不变。

   这个性质有一个常见用法,对于一个高于三阶的行列式,直接计算比较麻烦,用第一行取消除其他行的第一个值,用第二行去消除以下行的第二个值。。。形成一个上三角行列式。上三角行列式的值等于对角线乘积,计算便捷。

 

一类较为特殊的行列式:列等和行列式

| a+x  a  a  a|

| a  a+x  a  a|

| a  a  a+x  a|

| a  a  a  a+x|

对于这种行列式,它每一行/列相加后,值相等。

将其他行/列全部加到第一行/列上,提取出来,第一行/列就全成了1,重新做成上三角行列式即可。

继续延申,

|2    0    0....0    0    2|

|-1   2    0....0    0    2|

|0    -1   2....0    0    2|

|......       .|

|0    0    0....-1    2    2|

|0    0    0....0    -1    2|

对于这种行列式,第一行乘1/2,加到第二行;将第二行乘1/2,加到第三行。。。。每一行前面都可消除到上三角,最后一行则会变成2+1+....+ 1/2^(n-2) =2^n+1    -2

-------------------

余子式:n阶行列式中,aij 所在的第i行和第j列去掉,剩下的就是aij 的余子式。

|1  2  3  4|

|5  6  7  8|

|9    10   11  12|

|13     14      15     16|

用第一行展开,这个行列式的值就是1*|6    7    8|-2*|5    7   8|+3*|5    6    8|-  4*|5   6    7|

                    |10 11 12|     |9  11 12|     |9  10  12|       |9 10  11|

                    |13 14 15|     |13 15 16|    |13 14 16|      |13 14 15|

代数余子式:(-1)i+j 称为aij 的代数余子式,Aij 

展开法则:行列式等于某行/列元素与其对应余子式乘积的和。

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克拉默法则。行列式解方程组常用

n个方程,n个未知数的线性方程组。

|a11x1+a12x2+.......+a1nxn=b1

|a21x1+a22x2+.......+a2nxn=b2

.......

|an1x1+an2x2+.......+annxn=bn

令其系数行列式为D

这个方程组有唯一解,x1=D1/D    x2=D2/D ....   Di是指将D的第i列换成常数列b

1. 若D为0,则方程组无解或解不唯一;反之方程组有唯一解。

2. 常数项b不全为0,称为非齐次线性方程组,反之为齐次。 

x1+2x2+x3=0

x1+x2+x3=0

x1+2x3=3       这样的方程组就是非齐次

   齐次方程组肯定有解,让所有x都为0就满足了。这个解又叫零解。

3. 对于一个齐次线性方程组,系数行列式D为0,有非零解;反之只有零解。

 

行列式性质及计算

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原文地址:https://www.cnblogs.com/namezhyp/p/14095048.html

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