标签:线性 nbsp 交换 展开 元素 其他 就是 第一个 解方程
行列式的性质:
1.规定行列式每一项的名称:第一行第一个为a11,第一行第二个为a12,第三个为a13....第二行第一个为a21,第三行第一个为a31....
行列式的转置,就是将每一项下标的行和列交换。或者说行列式每一行转为列,列转为行
行列式和它的转置行列式,值相等;
2.互换行列式任意两行/列,值会变号;
3. 行列式某一行/列都乘一个系数k,最后的值会乘k;
4. 行列式中有某两行/列成比例,那么行列式的值为0;
5. 行列式的某一行/列,每一项都拆成两项。那么行列式可以被拆成两个行列式之和,各自取一项,其他行/列不变。
6. 某行/列 乘k倍加到另一行/列,行列式值不变。
这个性质有一个常见用法,对于一个高于三阶的行列式,直接计算比较麻烦,用第一行取消除其他行的第一个值,用第二行去消除以下行的第二个值。。。形成一个上三角行列式。上三角行列式的值等于对角线乘积,计算便捷。
一类较为特殊的行列式:列等和行列式
| a+x a a a|
| a a+x a a|
| a a a+x a|
| a a a a+x|
对于这种行列式,它每一行/列相加后,值相等。
将其他行/列全部加到第一行/列上,提取出来,第一行/列就全成了1,重新做成上三角行列式即可。
继续延申,
|2 0 0....0 0 2|
|-1 2 0....0 0 2|
|0 -1 2....0 0 2|
|...... .|
|0 0 0....-1 2 2|
|0 0 0....0 -1 2|
对于这种行列式,第一行乘1/2,加到第二行;再将第二行乘1/2,加到第三行。。。。每一行前面都可消除到上三角,最后一行则会变成2+1+....+ 1/2^(n-2) =2^n+1 -2
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余子式:n阶行列式中,aij 所在的第i行和第j列去掉,剩下的就是aij 的余子式。
|1 2 3 4|
|5 6 7 8|
|9 10 11 12|
|13 14 15 16|
用第一行展开,这个行列式的值就是1*|6 7 8|-2*|5 7 8|+3*|5 6 8|- 4*|5 6 7|
|10 11 12| |9 11 12| |9 10 12| |9 10 11|
|13 14 15| |13 15 16| |13 14 16| |13 14 15|
代数余子式:(-1)i+j 称为aij 的代数余子式,Aij
展开法则:行列式等于某行/列元素与其对应余子式乘积的和。
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克拉默法则。行列式解方程组常用
n个方程,n个未知数的线性方程组。
|a11x1+a12x2+.......+a1nxn=b1
|a21x1+a22x2+.......+a2nxn=b2
.......
|an1x1+an2x2+.......+annxn=bn
令其系数行列式为D
这个方程组有唯一解,x1=D1/D x2=D2/D .... Di是指将D的第i列换成常数列b
1. 若D为0,则方程组无解或解不唯一;反之方程组有唯一解。
2. 常数项b不全为0,称为非齐次线性方程组,反之为齐次。
x1+2x2+x3=0
x1+x2+x3=0
x1+2x3=3 这样的方程组就是非齐次
齐次方程组肯定有解,让所有x都为0就满足了。这个解又叫零解。
3. 对于一个齐次线性方程组,系数行列式D为0,有非零解;反之只有零解。
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