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Codeforces Global Round #12

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C. Errich-Tac-Toe

考虑对所有格子按 \((i + j)\bmod 3\) 分类。

选取两个类，一类中 O 全部变成 X，一类中 X 全部变成 O。

考虑连续的三个棋子，必定被包含在 \(3\) 个类中，且不会出现连续的 \(3\) 个相同。

E. Capitalism

将 \(a_i\) 奇偶分类，容易发现原图是二分图。

构造差分约束。

• 对于有向边 \(u \to v\)，构造两条边 \((u, v, 1), (v, u, -1)\)，即保证了 \(a_u = a_v +1\)。
• 对于无向边 \((u, v)\)，构造两条边 \((u, v, 1), (v, u, 1)\)，即保证了 \(|a_u - a_v| \le 1\)，同时在二分图上最短路保证了 \(a_u \neq a_v\)，可以满足条件。

那么先判二分图，然后用 Floyd 求最短路，有负环则无解，否则令最长路径端点 \(u\)，\(a_u = 0\)，其他取到 \(a\) 的最短路即可。

F. The Struggling Contestant

有解的充要条件是众数出现次数 \(\le \left\lceil {\frac n2} \right\rceil\)。

在满足 \(a_i = a_{i+1}\) 的 \((i, i + 1)\) 间加分隔符，设划分成了 \(k\) 个连续段。

需要重排连续段，使得两两之间可以连接，充要条件是出现最多的端点出现次数 \(cnt \le k +2\) 次。

证明：

• 对于 \(k = 0, cnt = 2\) 显然成立；
• 对于 \(k > 0, cnt \le k - 2\)，可以将一个出现次数最多的端点与另一个端点之间连接，使 \(n \leftarrow n - 1, k \leftarrow k - 1\)。

所以判断有解后，一定存在 \(i\)，使 \((i, i+ 1)\) 不同且均不为众数（否则必定无解），可以通过拆开这样的对使得 \(k \leftarrow k + 1, cnt \leftarrow cnt + 2\)，因此答案为 \(k + \max\{0, cnt - k - 2\}\)。

G. Communism

咕

H. Multithreading

Easy Version

考虑贪心求解。我们每次将相邻的两个 w 或 b 连一条边并删掉，剩下来的一定黑白交替。

给序列中每个点赋上 \((-1)^i\) 的权值，那么答案为黑色（或白色）权值和绝对值的一半，因为这样中间一段偶数不影响答案（和为 \(0\)，且不影响两边奇偶性），而中间出现一段奇数会改变奇偶性，如 wwwbwwwb，w 的权值为 \(2\)。

考虑先给 ? 在奇数位置的填白，偶数位置填黑，然后选择一个子集翻转，可以发现每次翻转一个元素会使上述权值和减 \(1\)，因此用一个组合数计算即可。

Hard Version

咕咕

Codeforces Global Round #12

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原文地址：https://www.cnblogs.com/RiverHamster/p/cf1450.html