容斥原理

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容斥原理

概念：简单而言就是求n个集合的并集的方法，求法是将每一项的概率相加再减去重复的部分，在这减去重复的过程中为了防止出现重复减的问题，要用到容斥原理

在范围内有多少数与给定的数互质

思路：假设范围为（a,b），给定数字为n，首先记下数字范围内数字个数（b-a+1）减去不n互质的数的个数结果就是答案 ，首先可以将给定的数分解质因数，然后对于构造的每一个数字（t），（b）范围内不与其互质的数有（b/t）个，利用容斥原理计算出b范围内不与n互质的数的个数最后减去这个个数，由于（1，a-1）是不在这个范围内的，因此要加上（1，a-1）范围内不与n互质的数的和。

解题代码：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 16384;
ll ele[maxn],tele[maxn],a,b,n,counter;
ll dec(ll x){//将n可以分解的质因数存在ele数组中 
	counter = 0;
	for(ll i = 2;i*i <=x;i++){
		if(x%i==0){
			ele[counter++] = i;
			while(x%i==0){
				x/=i;
			}
		}
	}
	if(x>1)ele[counter++] = x;
	return 0; 
}
ll solve(ll x){	//容斥原理求解不满足解的个数 
	ll t = 0,tt,res = 0;
	tele[t++] = -1;
	for(int i = 0;i<counter;i++){
		tt = t;
		for(int j = 0;j<tt;j++){
			tele[t++] = tele[j]*ele[i]*-1; 
            /*
            计算每一个可以构造的因子的状态,以4为例就是计算
            A+B+C+D-AB-AC-AD-BC-BC-CD+ABC+ABD+ACD+BCD-ABCD
            在具体计算过程中，其产生的顺序是：
            A+B-AB+C-AC-BC+ABC+D-AD-BD+ABD-BC+ACD+BCD-ABCD
            产生后一项的符号与枚举过程中的每一项的相反，而每一次枚举都比上一次枚举多一项
            在这个步骤时间复杂度是(1+n)*n/2 即O(n^2)
            */
		}
	}
	for(int i = 1;i<t;i++){
		res += x/tele[i];
        /*
        这里是在计算具体的每一项应当在结果中占的部分
        */
	}
	return res;
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	int cnt = 1;
	ll a,b,n;
	while(t--){
		cin >> a >> b >> n;
		dec(n);//将n分解因数
        //计算(a,b)范围内的个数，所以要计算b范围内的个数最后减去a范围内的个数得到答案
		printf("Case #%d: %lld\n",cnt++,b-a+1-solve(b)+solve(a-1)); 
	}
	
}

类似题目：【HDU】2841 Visible Trees，题目本质一样，求解范围内互质数的个数

求解在一个字符串中要求每一个指定字符都要求出现方案数

例如： 长度为n的由数字0，1，2组成的序列，要求每个数字至少出现1次，这样的序列有多少种？

与求解互质数一样，转向其相反问题也就是不出现这些数字的序列 不出现其中某些数字的序列。之后即可利用容斥原理进行计算记A,B,C分别为不出现0,1,2的序列数，所以结果可以表示为A+B+C-AB-AC-BC+ABC.可以发现ABC的值都为2^n，而任意两个组合的值为1，故得到问题的解3^n - 3*2^n + 3*1 - 0;

容斥原理

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原文地址：https://www.cnblogs.com/simulatedsakura/p/14171243.html