GPU编程和流式多处理器（四）

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GPU编程和流式多处理器（四）

3.2. 单精度（32位）

单精度浮点支持是GPU计算的主力军。GPU已经过优化，可以在此数据类型上原生提供高性能，不仅适用于核心标准IEEE操作（例如加法和乘法），还适用于非标准操作（例如对先验的近似（例如sin（）和log（）））。32位值与整数保存在同一寄存器文件中，因此单精度浮点值和32位整数（使用__float_as_int（）和__int_as_float（））之间的强制转换是免费的。

加法，乘法和乘加

编译器自动将浮点值的+，–和*运算符转换为加，乘和乘加指令。所述__fadd_rn（）和__fmul_rn（）内部函数可以被用于加入抑制融合和乘法操作进入乘加指令。

对等与除法

对于具有2.x或更高版本的计算能力的设备，使用--prec-div = true编译代码时，除法运算符符合IEEE规定。对于具有计算能力1.x的设备或对于具有计算能力2.x的设备，当使用--prec-div = false编译代码时，除法运算符和__fdividef（x，y）具有相同的精度，但精度为2 ¹²⁶ <y <2 ¹²⁸，__fdividef（x，y）的结果为零，而除法运算符的结果为正确。另外，对于2 ¹²⁶ <y <2 ¹²⁸，如果x为无穷大，则__fdividef（x，y）返回NaN，而除法运算符返回无穷大。

先验者（SFU）

SM中的特殊功能单元（SFU）实现了六个常见超越功能的快速版本。

• 正弦和余弦
• 对数和指数
• 倒数和倒数平方根

（摘自有关Tesla架构论文）摘录了受支持的操作和相应的精度。SFU并不能完全实现精度，但是它们可以很好地近似于这些功能，并且速度很快。对于比优化的CPU等效端口（例如25倍或更多）快得多的CUDA端口，代码很可能依赖SFU。

SFU精度

给出的内在函数访问SFU。指定--fast-math编译器选项将使编译器将常规C运行时调用替换为上面列出的相应SFU内部函数。

__saturate（x）如果x <0返回0 ，如果x> 1返回1，否则返回x。

3.3．双精度（64位）

带有SM 1.3的CUDA中添加了双精度浮点支持（最早在GeForce GTX 280中实现），而SM 2.0则提供了大大改进的双精度支持（功能和性能）。CUDA对双精度的硬件支持具有全速异常功能，并且从SM 2.x开始，符合IEEE 754 c的本机融合乘法加法指令（FMAD）。2008年，仅执行一个舍入步骤。FMAD除了是本质上有用的操作之外，还可以使某些功能（与Newton-Raphson迭代收敛）完全准确。

与单精度运算一样，编译器会自动将标准C运算符转换为乘法，加法和乘加指令。所述__dadd_rn（）和__dmul_rn（）内部函数可以被用于加入抑制融合和乘法操作进入乘加指令。

3.4．半精度（16位）

对于5位指数和10位有效数，半值具有足够的精度以用于HDR（高动态范围）图像，并可用于保存其他不需要浮点精度的值，例如角度。半精度值仅用于存储，而不用于计算，因此硬件仅提供指令以转换为32位或从32位转换。¹³这些指令以__halftofloat（）和__floattohalf（）内部函数公开。

float __halftofloat（unsigned short）;

unsigned short __floattohalf（float）;

这些内部函数使用unsigned short，因为C语言尚未标准化半浮点类型。

3.5. 案例研究：浮动→转换一半

研究float → half转换操作是了解浮点编码和舍入细节的有用方法。因为这是一个简单的一元运算，所以我们可以专注于编码和舍入，而不会被浮点运算的细节和中间表示的精度所分散。

当从float转换为half时，对于任何太大而无法表示的float的正确输出是half infinity。任何太小而不能代表一半（甚至是反常的一半）的浮点数都必须固定为0.0。舍入为0.0的一半的最大浮点数为0x32FFFFFF或2.98 ^-8，而舍入为无穷大的一半的最小浮点数为65520.0。此范围内的float值可以转换为一半通过传播符号位，重新偏置指数（因为float的8位指数偏差为127，一半的5位指数偏差为15），然后将float的尾数四舍五入到最接近的一半尾数。在所有情况下，舍入都是简单的，除非输入值恰好落在两个可能的输出值之间。在这种情况下，IEEE标准指定四舍五入到“最近的偶数”值。在十进制算术中，这意味着四舍五入为1.5到2.0，但也四舍五入为2.5到2.0，以及（例如）四舍五入到0.5到0.0。

清单3显示了一个C例程，该例程完全复制了CUDA硬件实现的浮点到一半转换操作。变量exp和mag包含输入指数和“幅值”，尾数和指数以及被屏蔽的符号位。可以对幅度执行许多操作，例如比较和舍入操作，而无需分离指数和尾数。

清单3中使用的宏LG_MAKE_MASK创建具有给定位数的掩码：#define LG_MAKE_MASK（bits）（（1 << bits）-1）。甲挥发性联合用于治疗相同的32位值作为浮子和无符号整型; 诸如*（（float *）（＆u））之类的习惯用法不是可移植的。该例程首先传播输入符号位并将其屏蔽掉。

提取幅度和指数后，该函数处理输入浮点为INF或NaN的特殊情况，并尽早退出。请注意，INF是带符号的，但NaN具有规范的无符号值。第50–80行将输入浮点值钳位到与可表示的半值相对应的最小值或最大值，然后重新计算钳位值的大小。不要被构造f32MinRInfin和f32MaxRf16_zero的复杂代码所迷惑；它们是分别具有值0x477ff000和0x32ffffff的常量。

例程的其余部分处理输出正常和异常的情况（输入异常在前面的代码中被钳位，因此mag对应于正常float）。与钳位代码一样，f32Minf16Normal是一个常量，其值为0x38ffffff。

要构建法线，必须计算新的指数（第92和93行），正确舍入的10位尾数将移入输出。要构造非正规数，必须将隐式1与输出尾数进行“或”运算，然后将所得尾数偏移与输入指数对应的量。对于法线和非法线，输出尾数的舍入分两步完成。舍入是通过添加一个1的掩码来实现的，该掩码的末尾刚好等于输出的LSB，如图3所示。

 图3圆角（一半）。

如果输入的位12置1，则此操作将增加输出尾数；否则，将增加输出尾数。如果输入尾数全为1，则溢出会导致输出指数正确递增。如果我们向此调整的最高有效位再加1，我们将获得小学风格的四舍五入，其中平局决胜数更大。取而代之的是，即使设置了舍入到最接近值，如果设置了10位输出的LSB，则我们有条件地增加输出尾数（图4）。请注意，这些步骤可以按任何顺序执行，也可以以许多不同的方式重新制定。

 图4舍入到最接近的偶数（一半）。

实际上，开发人员应使用__floattohalf（）内在函数将float转换为一半，编译器会将其转换为单个F2F机器指令。提供此示例例程的目的纯粹是为了帮助理解浮点布局和舍入。同样，检查所有INF / NAN和非标准值的特殊情况代码有助于说明IEEE规范的这些功能自诞生以来就一直引起争议：它们使硬件变慢，成本更高，或者由于增加的硅片面积和工程设计而使硬件变慢验证工作。

在本书随附的代码中，清单3中的ConvertFloatToHalf（）例程被合并到名为float_to_float16.cu的程序中，该程序针对每个32位浮点值测试其输出。

3.6. 数学库

CUDA包括一个以C运行时库为模型的内置数学库，但有一些小区别：CUDA硬件不包括舍入模式寄存器（取而代之的是，舍入模式是按指令编码的），因此¹⁴作为引用当前舍入模式的rint（），始终舍入为最接近值。此外，硬件不会引发浮点异常。异常运算的结果（例如，取负数的平方根）将编码为NaN。

表13列出了数学库函数以及每个函数的最大误差（单位为ulps）。在float上操作的大多数函数的函数名称后均带有“ f”，例如，计算正弦函数的函数如下。双*对于Bessel函数jnf（n，x）和jn（n，x），对于n = 128，最大绝对误差分别为2.2x10 ^-6

和5x10 

**对于Bessel函数ynf（n，x），| x |的误差为?22.5n?；否则，对于n = 128，最大绝对误差为2.2x10 ^-6。对于yn（n，x），最大绝对误差为5X10 ^-12。

1. 在SM 1.x类硬件上，由于中间尾数的截断，合并到FMAD指令中的加法和乘法运算的精度将受到影响。
2. 在SM 2.x和更高版本的硬件上，开发人员可以通过指定--prec-div = true将错误率降低到0 ulps。
3. 对于float，| x | <8的错误是9 ulps；否则，最大绝对误差为2.2X10 ^-6。对于double，| x | <8的误差为7 ulps；对于x，误差为7 ulps。否则，最大绝对误差为5×10-12。
4. 在间隔–10.001，–2.264内，lgammaf（）的错误大于6。在间隔–11.001，–2.2637内，lgamma（）的错误大于4。
5. 在SM 2.x和更高版本的硬件上，开发人员可以通过指定--prec-sqrt = true将此错误率降低至0 ulps。

这些在表13中表示为例如sin [f]。

转换为整数

根据C运行时库的定义，nearint（）和rint（）函数使用“当前舍入方向”将浮点值舍入到最接近的整数，在CUDA中，该值始终舍入到最接近偶数。在C运行时中，nearingint（）和rint（）的区别仅在于对INEXACT异常的处理。但是，由于CUDA不会引发浮点异常，因此函数的行为相同。

round（）实现小学风格的舍入：对于整数之间中间的浮点值，输入始终从零舍入。NVIDIA建议不要使用此功能，因为它会扩展到八（8）条指令，而不是rint（）及其变体的一条指令。trunc（）截断或“砍除”浮点值，四舍五入为零。它编译为一条指令。

分数和指数

flost frexpf（float x，int * eptr）;

frexpf（）将输入分解为范围为[0.5，1.0）的浮点有效数和2的整数指数，使得

x =有效数·2^指数

float logbf（float x）;

logbf（）从x提取指数，并将其作为浮点值返回。它等效于floorf（log2f（x）），但速度更快。如果x为非正规数，则logbf（）返回x标准化后的指数。

float ldexpf（float x，int exp）;

float scalbnf（float x，int n）;

float scanblnf（float x，long n）;

ldexpf（），scalbnf（）和scalblnf（）都通过直接操纵浮点指数来计算x2 ⁿ。

浮点余数

modff（）将输入分为小数和整数部分。

float modff（float x，float * intpart）;

返回值是x的小数部分，具有相同的符号。

restderf（x，y）计算x除以y的浮点余数。返回值为xn * y，其中n为x / y，四舍五入到最接近的整数。如果| x –ny | = 0.5，则选择n为偶数。

float remquof(float x, float y, int *quo);

计算余数并传回积分商x / y的低位，其符号与x / y相同。

贝塞尔函数

n阶贝塞尔函数与微分方程有关

 n可以是一个实数，但是对于C运行时而言，它是一个非负整数。

该二阶常微分方程的解结合了第一类和第二类的贝塞尔函数。

 数学运行时函数jn [f]（）和yn [f]（）分别计算J _n（x）和Y _n（x）。对于n = 0和n = 1的特殊情况，j0f（），j1f（），y0f（）和y1f（）计算这些函数。

伽玛功能

伽马函数Γ是阶乘函数的扩展，其自变量向下移动1，变为实数。它具有多种定义，其中之一如下。

 该函数的增长如此之快，返回值损失精度相对较小的输入值，所以该库提供了lgamma函数（）函数，该函数返回伽玛函数的自然对数，除了tgamma（）（“真伽马”）功能。

GPU编程和流式多处理器（四）

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