Topcoder 16634(SRM793 Div.1 C) TinyChessboardNim 题解

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题目链接：TinyChessboardNim

题目大意：给定一个 \(2\times 2\) 的矩形 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，你每一次可以选择其中的一行或者一列，在选定一个正整数 \(x\)，使得这你选择的两个数同时减去 \(x\)，需要保证剩下的所有数非负，先后手轮流操作，问能够使得先手必胜的第一步操作有多少种。

题解：我们将原题中的 \(c,d\) 互换一下，就变成了 \(\begin{bmatrix} a & b \\ d & c \end{bmatrix}\)，这样的话就是按照顺时针排列了，然后给出本题的重要性质：假设 \(a\) 为矩阵中的最大值，那么如果 \(b\neq d\) 先手必胜（反过来先手不一定必败）。证明考虑归纳：不妨假设 \(b>d\)，那么我们可以同时给 \(a,b\) 减去 \(b-d\) 那么就达到了 \(b=d\) 的情况，若此时即为必败态，那么证明完毕。否则根据结论，后手也需要使得与最大值相邻的两个数相等，然而此时后手只有一种行动方式，就是将 \(a,b\) 各自取走 \(a-c\)（若 \(c\ge b\) 依然是后手必败，因为此时先手一定可以模拟后手的操作），然而此时到达的状态依然是先手可以一步到达的（先手只需要一次性多减一些就可以了），所以先手必胜。

上文提到了在 \(c\ge b\) 的情况下若 \(b=d\) 那么先手必败，接下来考虑 \(c<b\) 的情况，容易发现此时先后手都只剩下一条路可走，所以直接计算步数判断奇偶性即可。

时间复杂度 \(O(1)\)。

#include <vector>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct TinyChessboardNim{
	int ans;
	void rotate(vector<int> &a){
		int tmp=a[0];
		for(int i=1;i<(int)a.size();i++){
			a[i-1]=a[i];
		}
		a.back()=tmp;
	}
	int get_max(vector<int> &a){
		int ans=a[0];
		for(int i=1;i<(int)a.size();i++){
			ans=max(ans,a[i]);
		}
		return ans;
	}
	bool win(vector<int> a){
		while(a[0]!=get_max(a)){
			rotate(a);
		}
		if(a[1]!=a[3]){
			return 1;
		}
		if(a[2]>=a[1]){
			return 0;
		}
		int delta=a[0]-a[2];
		return a[1]/delta!=a[2]/delta;
	}
	void check(vector<int> rice,int x){
		if(x>0&&rice[0]>=x&&rice[1]>=x){
			vector<int> a=rice;
			a[0]-=x;
			a[1]-=x;
			ans+=!win(a);
		}
	}
	int countWinningMoves(vector<int> rice){
		swap(rice[2],rice[3]);
		ans=0;
		for(int i=0;i<4;i++){
			check(rice,rice[1]-rice[3]);
			if(rice[1]-rice[3]!=rice[0]-rice[2]){
				check(rice,rice[0]-rice[2]);
			}
			rotate(rice);
		}
		return ans;
	}
};

Topcoder 16634(SRM793 Div.1 C) TinyChessboardNim 题解

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原文地址：https://www.cnblogs.com/withhope/p/14250330.html