P5488 差分与前缀和 生成函数+多项式EXP

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题意：

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分析：

• 前置芝士 : 生成函数 多项式EXP

将题目拆成两问：

1. 前缀和

   一次前缀和操作 \(\sum_{j<i}a_j\to a_i\) 等价于将 \(a\) 序列的 OGF 乘了一个 \(1+x+x^2+x^3\dots x^n\) 即 \(\frac{1}{1-x}\)，\(ans=a * \frac{1}{(1-x)^k}\)

2. 差分

   同理，一次差分操作 \(a_i-a_{i-1}\to a_{i-1}\) 等价于将序列的 OGF 乘了一个 \((1-x)\) \(ans=a * (1-x)^k\)

直接上多项式 EXP

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define inl inline 
#define reg register 

using namespace std;

namespace zzc
{
    typedef long long ll;
    const int maxn = 3e5+5;
    const long long mod = 1004535809;
    inl ll read()
    {
        ll x=0,f=1;char ch=getchar();
        while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
        while(isdigit(ch)){x=(x*10+ch-48)%mod;ch=getchar();}
        return x*f;
    }

    ll n,k,t,l,lim;
    ll a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn],e[maxn],f[maxn],g[maxn],h[maxn],rev[maxn];
    
    ll qpow(ll x,ll y)
    {
    	ll res=1;
    	while(y)
    	{
    		if(y&1) res=res*x%mod;
    		x=x*x%mod;
    		y>>=1;
    	}
    	return res;
    }
    
    void ntt(ll *a,ll inv)
    {
		for(ll i=0;i<lim;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(ll len=1;len<lim;len<<=1)
		{
			ll w1=qpow(inv==1?3:1004535810/3,(mod-1)/(len<<1));
			for(ll i=0;i<lim;i+=(len<<1))
			{
				ll w=1;
				for(ll j=0;j<len;j++)
				{
					ll x=a[i+j],y=w*a[i+j+len]%mod;
					a[i+j]=(x+y)%mod;
					a[i+j+len]=(x-y+mod)%mod;
					w=w*w1%mod;
				}
			}
		}
		if(inv==1) return ;
		long long tmp=qpow(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(a[i]*tmp%mod+mod)%mod;
    }
    

	void get_len(int k)
	{
		lim=1,l=0;
		while(lim<(k<<1)) lim<<=1,l++;
		for(ll i=0;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	}
	
	void get_inv(ll *f,ll *g,ll k)
	{
		if(k==1)
		{
			g[0]=qpow(f[0],mod-2);
			return ;
		}
		get_inv(f,g,(k+1)>>1);
		get_len(k);
		for(ll i=0;i<k;i++) c[i]=f[i];
		for(ll i=k;i<lim;i++) c[i]=0;
		ntt(c,1);ntt(g,1);
		for(ll i=0;i<lim;i++) g[i]=((2ll-c[i]*g[i]%mod+mod)%mod)*g[i]%mod;
		ntt(g,-1);
		for(ll i=k;i<lim;i++) g[i]=0;
	}
	
	void get_der(ll *f,ll *g,ll k)
	{
		for(ll i=1;i<k;i++) g[i-1]=i*f[i]%mod;
		g[k-1]=0;
	}
	
	void get_int(ll *f,ll *g,ll k)
	{
		for(ll i=1;i<k;i++) g[i]=f[i-1]*qpow(i,mod-2)%mod;
		g[0]=0;
	}
	
	void get_ln(ll *f,ll *g,ll k)
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		get_der(f,a,k);get_inv(f,b,k);get_len(k);
		ntt(a,1);ntt(b,1);
		for(ll i=0;i<lim;i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;
		ntt(a,-1);
		get_int(a,g,k); 
	}	
    
    void get_exp(ll *a,ll *b,ll k)
    {
    	if(k==1)
    	{
    		b[0]=1;
    		return ;
    	}
    	get_len(k);
    	get_exp(a,b,(k+1)>>1);get_ln(b,d,k);
    	for(ll i=0;i<k;i++) e[i]=a[i];
    	for(ll i=k;i<lim;i++) e[i]=d[i]=0;
    	ntt(d,1);ntt(e,1);ntt(b,1);
    	for(ll i=0;i<lim;i++) b[i]=(1-d[i]+e[i]+mod)%mod*b[i]%mod;
    	ntt(b,-1);
    	for(ll i=k;i<lim;i++) b[i]=0;
    }
    
    void work()
    {
    	n=read();k=read();t=read();
    	for(int i=0;i<n;i++) f[i]=read();
    	g[0]=1;g[1]=mod-1;
    	get_ln(g,h,n);
    	for(ll i=0;i<n;i++) h[i]=h[i]*k%mod;
    	memset(g,0,sizeof(g));
    	get_exp(h,g,n);
    	if(!t)
    	{
    		memset(h,0,sizeof(h));
    		get_inv(g,h,n);
    		memcpy(g,h,sizeof(h));
    	}
    	get_len(n);
    	ntt(f,1);ntt(g,1);
    	for(ll i=0;i<lim;i++) f[i]=f[i]*g[i]%mod;
    	ntt(f,-1);
    	for(ll i=0;i<n;i++) printf("%lld ",f[i]);
    }
    

}

int main()
{
    zzc::work();
    return 0;
}

P5488 差分与前缀和 生成函数+多项式EXP

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