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题意

定义 \(\text{He[N]}\) 表示满足以下方程的解的个数：

并且定义 \(\text{HeHe[N]}=\text{He[1]}\times \cdots \times \text{He[N]}\)，对于给定的 \(N,M(1\leq N \leq 10^7,0<M\leq 10^9)\) ，求出 \(\text{He[N]} \bmod M\) 的值。

分析

其实打表也可以做，但自己没有看出规律来。只好采用另一种方法：积性函数。

结论\(1\)：函数 \(\text{He[x]}\) 是积性函数，且 \(\text{He[p]=2}(p\in Prime)\)

证明：

对于方程：

等价于：

因为 \(X\in [0,p-1]\) ，所以 \(X\) 和 \(X-1\) 不可能被 \(p\) 整除，那么只有 \(X(X-1)=0\) ，即必然有 \(0,1\) 两个解。

结论\(2\)：\(\text{He[pq]=4}\) （\(p,q\) 互质）

证明：

对于方程：

等价于：

首先，\(X\) 必然有 \(0,1\) 两个解。同时，\(X\) 可能为 \(p\) 或者 \(q\) 的倍数。假设 \(X=n\times p\) ，有：

即 \(q|n(np-1)\)。因为 \(X=np\in[0,pq-1]\) ，所以 \(n<q\) 。因此，\(q|(np-1)\) ，即 \(np\equiv 1(\bmod q)\) 。转化为线性方程 \(np+kq=1\) ，可知必然存在解。因为线性方程组的解 \(x=x_0+q·t\)，所以存在一个解。当 \(q|X\) 时，同理，故存在 \(4\) 个解。

因此，对于 \(\text{He[x]}\) ，只要求出其中含有的不同质因子个数 \(k\) ，有 \(\text{He[x]}=2^k\)。对于 \(\text{HeHe[x]}\) ，相当于求阶乘，只要 \(\frac{N}{p_i}\) 就可以知道 \([1,N]\) 中有多少个数含有质因子 \(p_i\)，依次累加即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
int prime[N],cnt;
bool vis[N];
void init()
{
    int maxn=1e7;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}
ll power(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    init();
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]<=n;i++)
            ans+=n/prime[i];
        ans=power(2,ans,m);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

HeHe HDU-2879【积性函数推导】

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原文地址：https://www.cnblogs.com/1024-xzx/p/14332689.html