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涉及数列类的归纳推理，常常考查二阶等差数列已知数列\(\{a_n\}\)，不是等差数列，但是\((a_{n+1}\)\(-\)\(a_n)\)\(-\)\((a_n\)\(-\)\(a_{n-1})\)\(=\)\(d\)，\(d\)为常数，则数列\(\{a_{n+1}\)\(-\)\(a_n\}\)相对于数列 \(\{a_n\}\)，就可以称为二阶数列，且其为等差数列，故称为二阶等差数列。\(\quad\)，或二阶等比数列已知数列\(\{a_n\}\)，不是等比数列，但是\(\cfrac{a_{n+1}-a_n}{a_n-a_{n-1}}\)\(=\)\(q\)，\(q\)为常数，则数列\(\{a_{n+1}\)\(-\)\(a_{n}\}\)为原数列\(\{a_n\}\)的二阶等比数列；\(\quad\)，或斐波那契数列斐波那契数列指的是数列 \(1\),\(1\),\(2\),\(3\),\(5\),\(8\),\(13\),\(\cdots\)，其中\(a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\)，\(n\geqslant 2\)\(\quad\)；
分析：本题目涉及到的数列为“斐波那契数列”，其构成规律为：\(a_1\)，\(a_2\)已知，其他项由递推公式\(a_{n+2}\)\(=\)\(a_{n+1}\)\(+\)\(a_n\)，\(n\in N^*\)得到，
故\(a_6=8\)，\(a_7=13\)，\(a_8=21\)，\(a_9=34\)，\(a_{10}=55\)，\(a_{11}=89\)，故选\(D\)。
法1：注意到蜂巢个数所成的数列是二阶等差数列，我们可以这样做：
\(1\stackrel{+6}{\longrightarrow}7\)； \(7\stackrel{+2\times 6}{\longrightarrow}19\)；\(19\stackrel{+3\times 6}{\longrightarrow}37\)；\(37\stackrel{+4\times6}{\longrightarrow}61\)；\(61\stackrel{+5\times6}{\longrightarrow}91\)；\(91\stackrel{+6\times6}{\longrightarrow}127\)；故选\(C\)。
法2：利用二阶等差数列和累加法求解；令蜂巢个数为\(f(n)\)，则\(f(1)=1\)，\(f(2)=7\)，\(f(3)=19\)，\(f(4)=37\)，由于
\(f(2)-f(1)=7-1=1\times 6\)；
\(f(3)-f(2)=19-7=2\times 6\)；
\(f(4)-f(3)=37-19=3\times 6\)；
\(f(5)-f(4)=61-37=4\times 6\)；
$\cdots $，
\(f(n)-f(n-1)=6\times (n-1)\)；
因此，当\(n\ge 2\)时，由累加法可知，
\(f(n)-f(1)=6\times [1+2+3+\cdots+(n-1)]=3n(n-1)\)；
故\(f(n)=3n^2-3n+1\)；
当\(n=1\)时，\(f(1)=1=3\times1^2-3\times1+1\)，符合上式，
故蜂巢个数为\(f(n)=3n^2-3n+1\)，
故可以计算\(f(6)=91\)，当然也可以得到\(f(10)=271\)；
求\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)，\(f(5)\)的值；并总结\(f(n)\)的表达式。
解析：由题意知，则\(f(1)=2\)，\(f(2)=4\)，\(f(3)=7\)，\(f(4)=11\)，\(f(5)=16\)，
\(f(2)-f(1)=4-2=2\)；
\(f(3)-f(2)=7-4=3\)；
\(f(4)-f(3)=11-7=4\)；
\(f(5)-f(4)=16-11=5\)；
$\cdots $，
\(f(n)-f(n-1)=n\)；
因此，当\(n\ge 2\)时，由累加法可知，
\(f(n)-f(1)=2+3+\cdots+n=\cfrac{(n+2)(n-1)}{2}\)
即\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)
当\(n=1\)时，\(f(1)=2\)，也满足上式，
故\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)。
(1)求出\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)，\(f(5)\)；
分析：由题意可知，
\(f(1)=3\)，
\(f(2)=f(1)+3+3\times 2=12\)，
\(f(3)=f(2)+3+3\times 4=27\)，
\(f(4)=f(3)+3+3\times 6=48\)，
\(f(5)=f(4)+3+3\times 8=75\)，
(2)找出\(f(n)\)与\(f(n＋1)\)的关系，并求出\(f(n)\)的表达式．
分析：由题意及(1)可知，
\(f(n+1)=f(n)+3+3\times 2n=f(n)+6n+3\)，
即\(f(n+1)-f(n)=6n+3\)，
则\(f(2)-f(1)=6\times 1+3\)，
\(f(3)-f(2)=6\times 2+3\)，
\(f(4)-f(3)=6\times 3+3\)，
\(\cdots\)，\(\cdots\)，
\(f(n)-f(n-1)=6\times (n-1)+3\)，
利用累加法可知，当\(n\ge 2\)时，
\(f(n)-f(1)=6[1+2+\cdots+(n-1)]+3(n-1)=6\times \cfrac{n(n-1)}{2}+3(n-1)=3n^2-3\)，
即\(f(n)=3n^2\)，当\(n=1\)时，满足上式，
故\(f(n)=3n^2(n\in N^*)\)。
则 \(n\) 级分形图中共有__________条线段.
分析：由此分形图的制作过程我们可以得到以下的表达式，用\(f(n)\)表达\(n\)级分形图的线段条数，则有
\(f(1)=3\)；
\(f(2)=3+6\)；
\(f(3)=3+1\times 6+2\times 6\)；
\(f(4)=3+1\times 6+2\times 6+4\times 6\)；
\(f(5)=3+1\times 6+2\times 6+4\times 6+8\times 6\)；
\(\cdots\)，\(\cdots\)，
对以上数据做加工，得到
\(f(2)-f(1)=1\times 6=2^0\times 6\)；
\(f(3)-f(2)=2\times 6=2^1\times 6\)；
\(f(4)-f(3)=4\times 6=2^2\times 6\)；
\(f(5)-f(4)=8\times 6=2^3\times 6\)；
\(\cdots\)，\(\cdots\)，
\(f(n)-f(n-1)=? \times 6=2^{n-2}\times 6\)；
以上\(n-1\)个式子累加，得到
\(f(n)-f(1)=[2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{n-2}]\times 6=6\times \cfrac{2^{n-1}-1}{2-1}=6(2^{n-1}-1)\)，
解得， \(f(n)=6\cdot 2^{n-1}-6+3=3\times 2^n-3\)；
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