[区间DP]加分二叉树

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题目

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为\(d_i\)，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为1。叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出：

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第1行：一个整数n，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（0<分数<100）。

输出格式

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过int范围）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

数据范围

\(n<30\)

输入样例：

5
5 7 1 2 10

输出样例：

145
3 1 2 4 5

思路

这是一道非常经典的区间DP问题，奈何本蒟蒻想了半天,然后发现了这个数据范围十分有爱。。。。

这里使用了中序遍历的树的性质，也就是选中一个节点\(K\)作为其根节点，那么在\(K\)的左边一定是其左子树，右边一定是其右子树，并且这两棵树是没有任何关系的，所以我们可以界定一个区间f[left][right]在这个区间里寻找一个\(K\)使得其可以按照题意获得最大解，然后将这个由小区间组成的集合逐渐拓展到最终的f[1][n]上来完成dp，这个做法应该是可以满足更大的数据输入的。

实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 50;
int value[N],f[N][N],root[N][N];

void print(int l,int r){
    if(l>r)return;
    else{
        int k=root[l][r];
        cout<<k<<‘ ‘;
        print(l,k-1);
        print(k+1,r);
    }
}

int main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>value[i];
    for(int len=1;len<=n;len++){                           //区间集合的大小
        for(int left=1;left+len-1<=n;left++){              //定义左区间的界限
            int right=left+len-1;                          //定义右区间的界限
            if(len==1) f[left][right]=value[right],root[left][right]=right;  //如果Len=1说明该区间就是一个节点
            else{
                for(int i=left;i<=right;i++){
                    int l_value=(left==i?1:f[left][i-1]);  //判断左右子树是否为空，下同
                    int r_value=(right==i?1:f[i+1][right]);
                    int score = l_value*r_value+value[i];
                    if(score>f[left][right]){              //状态更新
                        f[left][right]=score;
                        root[left][right]=i;
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[1][n]<<endl;
    print(1,n);
}

[区间DP]加分二叉树

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原文地址：https://www.cnblogs.com/ubiosturing/p/14350921.html