x和y为正整数变量，求满足 x+y | xy 的通解。

标签：一个   推出   也有   正整数   存在   整数   变量   矛盾   

x和y为正整数变量，求满足 x+y | xy 的通解。

解：由题设可知存在正整数t满足t(x+y)=xy。

设m=(x,y)，则存在正整数u和v满足：

x=mu, y=mv, (u,v)=1。

于是有tm(u+v)=mumv，即

t(u+v)=muv。

考察u+v的任意一个素因数p，若u也有素因数p，则由v=(u+v)-u可知，v也有素因数p，这与(u,v)=1矛盾。由此推出

u+v | m。

于是得到所求的通解为

x=ku(u+v), y=kv(u+v)

其中k为任意正整数，u和v为满足(u,v)=1的任意两个正整数。

x和y为正整数变量，求满足 x+y | xy 的通解。

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