FFT 的一类妙用——数列取数问题

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问题引入

有一个长为 \(N\) 的数组 \(k\) 与一个长为 \(M\) 的数组 \(d\)，求出 \(d\) 数组中能被 \(\le 2\) 个 \(k\) 数组中的数相加表示出来的数有多少个。

本题多组数据。

\(1\le N,M,k_i,d_i\le 2\times 10^5\)。

原题链接：SWERC 2014 C。

Solution

题意即要求出有多少组 \(k_i+k_j=d_k\)，显然可以考虑 Hash 加暴力枚举，然而毒瘤出题人把 \(N\) 和 \(M\) 开到了 \(2\times 10^5\)，所以这样没有前途。

考虑优化，端详 \(k_i+k_j\) 的形式，然而并没有什么卵用。

于是 hht 就教了我一个 trick，异常精妙。

对于 \(k_i+k_j\)，可改为 \(x^{k_i}\times x^{k_j}\)，那么，我们可以构造一个多项式 \(F(x)=1+\sum^{N}_{i=1} x^{k_i}\)。

那么 \(F(x)^2\) 中的每一项就是可以凑出的所有值，可以直接判断。

由此，我们给出了一个 \(O(N\log N)\) 的算法。

FFT 的一类妙用——数列取数问题

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原文地址：https://www.cnblogs.com/lajiccf/p/14389996.html