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欧拉函数是一种定义在正整数域的数论函数，在剩余系的运算中有重要作用
欧拉函数的符号是 \(\varphi\)，读作 phi。\(\varphi(n)\) 表示在不大于 \(n\) 的所有正整数中，与 \(n\) 互质的数的个数。需要注意的是，按照这个定义，\(\varphi(1)=1\)。
欧拉函数是积性函数，对于任意满足 \((a,b)=1\) 的 \(a,b\)，都有 \(\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot\varphi(b)\)。
显然，对于任意质数 \(p\)，它的欧拉函数值 \(\varphi(p)\) 都等于 \(p-1\)，因为任意小于 \(p\) 的数都与 \(p\) 互质。不显然地，对于任意正整数 \(i\)，设其所有质因数分别为 \(p_1,p_2,...,p_s\)，那 \(i\) 的欧拉函数值 \(\varphi(i)=i\cdot\prod\limits_{j=1}^s\dfrac{p_j-1}{p_j}\)。
引理 1. 若 \(p\) 为质数，\(k\) 为正整数，则 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)
一个数 \(i\) 不与 \(p^k\) 互质当且仅当 \(p\mid i\)，而在 \(\left[1,p^k\right]\) 中这样的 \(i\) 一共有 \(\dfrac{p^k}{p}=p^{k-1}\) 个，所以 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)。
引理 2. 根据唯一分解定理将 \(n\) 分解为 \(\prod\limits_{i=1}^s{p_i}^{k_i}\)，则 \(\varphi(n)=n\cdot\prod\limits_{i=1}^s\dfrac{p_i-1}{p_i}\)
由于欧拉函数是积性函数
引理 2 是计算欧拉函数最一般的公式，根据它可以 \(O\left(\sqrt{n}\right)\) 地求出 \(\varphi(n)\)。
根据欧拉函数的积性和引理 2，可得对于任意质数 \(p\) 有
在筛素数的同时可以求出欧拉函数。
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i){
if(!vist[i]) prime[++cnt] = i;
for(int j = 1; j <= cnt; ++j){
if(i % prime[j])
phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
else{
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
}
}
对于任意 \(a,p\) 满足 \((a,p)=1\)， \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p\)。
这一点可以构造证明。设 \(\varphi(p)\) 个正整数 \(m_1,m_2,\ldots,m_{\varphi(p)}\) 构成 \(p\) 的一个既约剩余系，根据既约剩余系的定义可以得到 \((m_i,p)=1\)。
对于其中任意两个不同的数 \(m_i,m_j\)，由于 \((a,p)=1\)，\(a\cdot (m_i-m_j)\nmid p\)。换言之 \(a\cdot m_i\) 与 \(a\cdot m_j\) 在模 \(p\) 意义下不同余。
由于其中的数两两不同余，\(a\cdot m_1,a\cdot m_2,\ldots,a\cdot m_{\varphi(p)}\) 也构成 \(p\) 的一个既约剩余系。于是 \(\prod(a\cdot m_i)\equiv\prod m_i\pmod p\)，即 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p\)。
对于任意 \(a\) 和任意质数 \(p\) 满足 \(p \nmid a\)，\(a^{p}\equiv a\pmod p\)。
费马小定理是欧拉定理的特殊情况。我们可以用更简洁的数学归纳法来证明它：
显然 \(1^{p}\equiv 1\pmod p\)。假设我们已经证明 \(a^{p}\equiv a\pmod{p}\)，根据二项式定理
其中的二项式系数 \(\binom{p}{i}\)，由于 \(p\) 与任意可能的 \(i\) 互质（除了 \(i=0\) 和 \(i=p\)），因此 \(\forall i\neq 0\and i\neq p,\binom{p}{i}\equiv 0\pmod{p}\)，而对于 \(i=0\) 和 \(i=p\)，显然 \(\binom{p}{i}=1\)。于是可以将原式写作
即
得证。
对于任意 \(a,b,p\)，\(a^{b}\equiv\begin{cases}a^b&\text{if }b<\varphi(p)\\a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}&\text{if }b\ge\varphi(p)\end{cases}\pmod{p}\)
证明略。
求 \(n^{n^{n^{\ldots}}}\bmod p\)。
根据扩展欧拉定理
而
每迭代一次，模数就变为其欧拉函数。可以证明，在 \(O(\log p)\) 级别次迭代内，模数可以降至 \(1\)，此时式子值恒为 \(0\)。
int solve(int n, int p){
if(p == 1) return 0;
return qpow(n, solve(n, phi[p]) + phi[p]) % p;
}
由于使用了快速幂，时间复杂度为 \(O(n\log^2 p)\)。类似的式子都可以套用这种方法计算。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/feiko/p/euler.html
