[联合省选 2020A]组合数问题 题解

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前言

这题算是我斯特林数的入门题，顺便安利大佬的博客，我是从这篇博客中学的斯特林数。

前置知识：

• 二项式定理：

  \[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n{\dbinom ni a^ib^{n-i}}\tag1 \]

• 斯特林数相关知识：

  • 斯特林数定义：

    • 第一类斯特林数： 第一类斯特林数 \(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\) 表示将 \(n\) 个不同元素划分为 \(m\) 个轮换的方案数。

    • 第二类斯特林数： 第二类斯特林数 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 表示把 \(n\) 个不同小球放入 \(m\) 个相同盒子，盒子不能空的方案数。

    • 相关递推式：

      \[\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\tag2 \]
      \[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}\tag3 \]

• 上升下降幂相关知识：

  • 定义：\(a^{\bar{b}}=\prod_{i=0}^{b-1}{(a+i)}\) 称为上升幂，\(a^{\underline{b}}=\prod_{i=0}^{b-1}{(a-i)}\) 称为下降幂，而 \(a^b\) 称为普通幂。

  • 普通幂与上升下降幂之间的转换：

    \[x^n=\sum_{k=0}^n{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline{k}}}\tag4 \]
    \[x^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^n{(-1)^{n-k}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k}\tag5 \]
    \[x^n=\sum_{k=0}^n{(-1)^{n-k}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\bar{k}}}\tag6 \]
    \[x^{\bar{k}}=\sum_{k=0}^n{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k}\tag7 \]

  • 下降幂与组合数之间的关系：

    \[\dbinom nm m^{\underline{k}}=\dbinom {n-k}{m-k}n^{\underline{k}}\tag 8 \]

题解

显然 \(\{q_j\}\) 可以在 \(O(m^2)\) 的时间内预处理出来，剩下的直接套上面的式子就可以 \(O(m\log n)\) 计算。

时间复杂度为 \(O(m^2+m\log n)\)，空间复杂度为 \(O(m^2)\)。

[联合省选 2020A]组合数问题 题解

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原文地址：https://www.cnblogs.com/peanuttang/p/14417964.html