倍增 LCA && ST表

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ST表

\(f[i][j]\) 表示从 \(i\) 结点向上走到的第 \(2^j\) 个结点
\(f[i][0] = father[i]\)，\(f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1]\) （先走 \(2^{j-1}\) 步，再走 \(2^{j-1}\) 步）

void dfs(int x, int fa, int d)     //通过dfs预处理所有结点的父结点与深度
{
    f[x][0] = fa;              //x的父结点即为f[x][0]
    depth[x] = d;              //得到长度
    for(unsigned int i = 0; i < G[x].size(); i++)
        if(G[x][i] != fa)
            dfs(G[x][i], x, d + 1);
}

dfs(root, 0, 0);
for(int j = 1; j < MAX_LOG_V; j++)    //先循环步数
{
	for(int i = 1; i <= n; i++)   //再循环结点
	if(f[i][j-1])            //如果f[i][j-1]存在
		f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];
}

注意循环时要先循环步数，再循环结点，保证第二维是 \(j-1\) 的已经全部求出，也就是把每个结点都先跳一步，再都跳一步，而第二步可能基于上一次跳跃后的某一步，所以要把上一次的全部处理出来

LCA：最近公共祖先

首先第一步还是让 \(u,v\) 走到同一深度，由于 st 表的第二维是指数级别的增长，因此相比于线性时间的一步步地上升，我们可以用对数时间迅速地上升至同一高度。
在上升到同一高度之后，原来的方法是两个结点同时一步步地上升直到到达同一个结点，而我们现在可以采取二分的方式。比如两个结点距离 LCA 的距离为 15， 若是同时上升 16，则会超过 LCA，于是不上升；同时上升 8，距离变成 7，再上升4，距离变成3，再上升2，距离变成1，最后一起上升1，到达 LCA。所以这里步数是从大到小进行遍历，这个处理技巧是非常关键的：

int lca(int u, int v)
{
    if(depth[v] > depth[u]) swap(u, v);       //让u的深度更大

    for(int i = 0; i <= MAX_LOG_V; i++)                   //让u,v到达统一深度
        if((depth[u] - depth[v]) >> i & 1)
            u = f[u][i];

    if(u == v) return u;
    for(int k = MAX_LOG_V; k >= 0; k--)         //利用二分(st表)来计算LCA
    {
        if(f[u][k] != f[v][k])         //若是不会超出LCA就上升
        {
            u = f[u][k];
            v = f[v][k];
        }
    }
    return f[u][0];
}

这样通过预处理 \(O(nlogn)\)，每次查询 LCA 的时间就可以变成 \(O(logn)\) 了, 所以这里面倍增的思想很关键。

poj板子

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1e4 + 7;
const int maxm = 3033;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int P = 131;
const double pi = acos(-1.0);
vector<int>v[maxn];
int fa[maxn], depth[maxn], f[maxn][15], n, root;
bool mark[maxn];
void dfs(int x, int fa, int d)
{
    f[x][0] = fa;
    depth[x] = d;
    for(int i = 0; i < v[x].size(); ++i)
        if(v[x][i] != fa) dfs(v[x][i], x, d + 1);
}

int lca(int u, int v)
{
    if(depth[v] > depth[u]) swap(u, v);
    for(int i = 0; i < 15; ++i)
        if((depth[u] - depth[v]) >> i & 1)
            u = f[u][i];
    if(u == v) return u;
    for(int k = 14; k >= 0; --k)
    {
        if(f[u][k] != f[v][k])
        {
            u = f[u][k];
            v = f[v][k];
        }
    }
    return f[u][0];
}

int main()
{
    int t, x, y;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) v[i].clear();
        memset(mark, 0, sizeof(mark));
        memset(f, 0, sizeof(f));
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i < n; ++i)
        {
            scanf("%d %d", &x, &y);
            v[x].push_back(y);
            //v[y].push_back(x); 不需要双向建边
            mark[y] = 1;
        }
        scanf("%d %d", &x, &y);
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            if(!mark[i])
            {
                root = i;
                break;
            }
        }
        dfs(root, 0, 0);
        for(int j = 1; j < 15; ++j)
        {
            for(int i = 1; i <= n; ++i)
                if(f[i][j-1])
                    f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];
        }
        printf("%d\n", lca(x, y));
    }
}

倍增 LCA && ST表

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