最省路径（异或优化建图）

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此题我要讲一种异或优化建图

• 题意：某国有N座城市，编号从1到N。 (N<=1e5 , M<=5e5)
  该国的交通工具主要有飞机和高铁两种对于任意的两座城市 i 和 j ，人们可以花费( i xor j ) * C 块钱从城市 i 坐飞机到城市 j ，这里 C 为该国规定的费用常数。该国有 M 条单向的高铁线路，第 i 条高铁从第 Xi 号城市开往第 Yi 个城市，乘坐这条高铁需要花费 Vi 的块钱。问从城市 A 前往城市 B 最少需要多少费用？

• 此题如果暴力建边的话时间或空间复杂度都是（n^2+m)肯定不行
  所以我考虑异或（位运算）的性质：按位分离计算？
  因此我们把十进制脑补成二进制，加一个维度：位！！！
  对于i,j的二进制第s位异或成1才能加上边权(1<<s) * C
  所以对于点i可以连出一条到点i^(1<<s) [0<=s<=20]的边权位（1<<s) * C 的边
  举个栗子：点 2->7
  3=(010),7=(111)
  3(010)->4(011),sumw+=(1<<0)C
  4(011)->7(111),sumw+=(1<<2)C
  检验 sumw = [ (1<<0)+(1<<2) ] * C = (101) * C = 5 * C = ( 3^7 ) * C

因此建边如下：

for(int i=1;i<=m;i++) {
    int u,v;ll w;
    scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
    add_edge(u,v,w);
}
for(int i=0;i<=n;i++) {
    for(int j=0;j<=20;j++) {
	int v=i^(1<<j);
	if(v<=n) {
	   add_edge(i,v,(1<<j)*c);
	}
    }
}

所整体从起点A跑一遍Dijkstra就可以了
（图论的核心是如何建边）会了上面的建边代码很简单：

    #include<stdio.h>
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int N=1e5+5;
    const int M=1e7+5;
    int nxt[M],to[M],head[N],tot;
    ll len[M],dis[N];
    void add_edge(int u,int v,ll w) {
    	tot++; nxt[tot]=head[u]; len[tot]=w; to[tot]=v; head[u]=tot;
    }
    struct node {
    	int p;ll w;
    	bool operator<(const node &u) const{return w>u.w;}
    };
    priority_queue<node> Q;
    bool mark[N];
    void DJ(int s) {
    	Q.push((node){s,0});
    	dis[s]=0;
    	while(!Q.empty()) {
    		int u=Q.top().p; Q.pop();
    		if(mark[u]) continue;
    		mark[u]=true;
    		for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
    			int v=to[i];
    			if(!mark[v]&&dis[v]>dis[u]+len[i]) {
    				dis[v]=dis[u]+len[i];
    				Q.push((node){v,dis[v]});
    			}
    		}
    	}
    }
    int main() {
    	int n,m,c,X,Y;
    	scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
    	for(int i=1;i<=m;i++) {
    		int u,v;ll w;
    		scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
    		add_edge(u,v,w);
    	}
    	for(int i=0;i<=n;i++) {
    		for(int j=0;j<=20;j++) {
    			int v=i^(1<<j);
    			if(v<=n) {
    				add_edge(i,v,(1<<j)*c);
    //				printf("%d %d %lld\n",i,v,(1<<j)*c);
    			}
    		}
    	}
    	scanf("%d%d",&X,&Y);
    	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    	DJ(X);
    	printf("%lld",dis[Y]);
    	return 0;
    }

最省路径（异或优化建图）

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