韩信分油问题的拓展分析

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韩信分油问题：只借助两个容量分别为7升和3升的不规则且无刻度的容器，如何让两人平分一桶10升的油？

解：用有序对/a,b/表示大容器的油量为a升，小容器的油量为b升。初始状态为/0, 0/，即两个容器都是空的。再用X、A、B分别代表油桶、大容器和小容器。并用变换MtoN表示从M往N中倒油（当N为X时即为倒空M；当N不为X时为倒满N或倒空M，且二者必居其一）。于是一个可行的分油过程如下：

/0, 0/  XtoA  /7, 0/  AtoB  /4, 3/  BtoX  /4, 0/  AtoB  /1, 3/  BtoX  /1, 0/  AtoB  /0, 1/  XtoA  /7, 1/  AtoB  /5, 3/  BtoX  /5, 0/

最后大容器里以及油桶里的油量各占5升，达到了平分的目的。

来看一下大容器在上述过程中油量的变化情况：0，7，4，1，0，7，5

对应的等式分别为：7·0 = 0，7·1 = 7，7·1 - 3·1 = 4，7·1 - 3·2 = 1，7·0 = 0，7·1 = 7，7·1 - [3·1 - (7·1 - 3·2)] = 5

接下来，容易想到如下一个扩展的问题：

从一个无穷大的油桶里取油，只借助两个容量分别为7升和3升的不规则且无刻度的容器，所能表示的整数升油量有哪些？

解：由之前的题解，已经知道这两个容器可以表示的整数升油量可以为0、1、3、4、5、7、8。

10是显然可以的，对应把A和B都注满的情形。

由以下变换可知2、6、9也都可以表示出来：

/5, 0/  AtoB  /2, 3/

/0, 3/  BtoA  /3, 0/  XtoB  /3, 3/

/2, 3/  BtoX  /2, 0/  AtoB  /0, 2/  XtoA  /7, 2/

因此，此题的解为0到10的全体整数。

换两个数，再考察一下，比如：

从一个无穷大的油桶里取油，只借助两个容量分别为7升和5升的不规则且无刻度的容器，所能表示的整数升油量有哪些？

解：最小值0和最大值12是显然可以的。5和7，以及它们的差，即2，也是显然可以的。9（2+7）和10（5+5）也可以。

由以下变换过程：

/7, 2/  AtoB  /4, 5/  BtoX  /4, 0/  AtoB  /0, 4/  XtoA  /7, 4/  AtoB  /6, 5/  BtoX  /6, 0/  AtoB  /1, 5/  BtoX  /1, 0/  AtoB  /0, 1/  XtoA  /7, 1/  AtoB  /3, 5/

可知，4、11、6、1、8、3也都是可以表示的。

综上，此题的解为0到12的全体整数。

由以上的分析，推测会有以下一般性的结论：

从一个无穷大的油桶里取油，只借助两个不规则且无刻度的容器，容量分别为a升和b升，a和b均为正整数，且满足(a, b) = 1。则所能取得的整数升油量为0到a+b范围内的全体整数。

证明：a = b的情形只可能是 a = b = 1，命题显然成立。以下考虑 a ≠ b 的情形，由结论的对称性，不妨假设 a > b。

a升的容器记为A，b升的容器记为B，油桶记为X。先把容器A和B注满，即XtoA, XtoB，得到a+b升油量；再把容器B倒空，并用容器A中的油注满容器B，即BtoX, AtoB，得到a升油量；此时若A中油量不为0，则继续重复做BtoX, AtoB操作。这一连串的过程可以得到：

a+b ≡ a ≡ a-b ≡ ... ≡ r₁　(mod b)　①

其中 r₁ 满足 a+b = q₁·b + r₁, q₁ > 0, 0 ≤ r₁ < b

当 b = 1 时，r₁ = 0，由①知命题显然成立。

当 b > 1时，由(a, b) = 1，可知 0 < r₁ < b。上面的操作最后得到的状态是 /0, r₁/，再次注满容器A，并用A中的油注满B，即XtoA, AtoB，此时的状态为 /a+r₁-b, b/；接着再次重复上面的BtoX, AtoB操作，直到容器A中的油量为空为止。这一连串的过程可以得到：

a+r₁ ≡ a+r₁-b ≡ ... ≡ r₂　(mod b)　②

其中 r₂ 满足 a+r₁ = q₂·b + r₂, q₂ > 0, 0 ≤ r₂ < b, r₂ ≠ r₁

这里对 r₂ ≠ r₁ 说明一下，假如r₁ = r₂，则由①和②便有 a+b ≡ a+r₁ (mod b)，这与 0 < r₁ < b 矛盾。

当 b = 2 时，由①知，r₁ = 1，再结合②可知，r₂ = 0，则①和②分别涵盖了0到a+2的所有奇数和偶数，命题成立。

当 b > 2 时，必有 r₂ ≠ 0，否则 a+r₁ ≡ a+(a+b) ≡ 0 (mod b)，即有 b | 2a，再由 (a, b) = 1，知 b | 2，这与 b > 2 矛盾。继续上面的操作，会得到：

a+r₂ ≡ a+r₂-b ≡ ... ≡ r₃　(mod b)　③

其中 r₃ 满足 a+r₂ = q₃·b + r₃, q₃ > 0, 0 ≤ r₃ < b, r₃ ≠ r₂, r₃ ≠ r₁

这里对 r₃ ≠ r₂ 说明一下，假如r₃ = r₂，则 a+r₂ ≡ a+r₁ (mod b)， 这与 r₂ ≠ r₁ 矛盾。

当 b = 3 时，由①和②知，r₁和r₂必然是一个为1、一个为2，于是r₃ = 0，则①、②和③一起涵盖了0到a+3的全体整数，命题成立。

按照上面的操作，当 b = k (k > 3)时，会有以下 k 个同余关系：

a+k ≡ a ≡ a-k ≡ ... ≡ r₁　(mod k)

a+r₁ ≡ a+r₁-k ≡ ... ≡ r₂　(mod k)

a+r₂ ≡ a+r₂-k ≡ ... ≡ r₃　(mod k)

...

a+r_k-1 ≡ a+r_k-1-k ≡ ... ≡ r_k　(mod k)

其中 r₁ 满足 a+k = q₁·k + r₁, q₁ > 0, 0 ≤ r₁ < k；r_i 满足 a+r_i-1 = q_i·k + r_i, q_i > 0, 0 ≤ r_i < k, (i = 2, 3, ..., k)。

下面来证明 r₁, r₂, ..., r_k-1 都不能等于0：

假如 r₁ = 0，则由 a+k ≡ a ≡ 0 (mod k)，知 k | a，而 k > 3，这与(a, k) = 1矛盾，故 r₁ ≠ 0；

假如 r₂ = 0，则由  a+r₁ ≡ a+a ≡ 0 (mod k)，知 k | 2a，再由 (a, k) = 1，有 k | 2，这与 k > 3 矛盾，故 r₂ ≠ 0；

假如 r₃ = 0，则由  a+r₂ ≡ a+(a+r₁) ≡ a+a+a ≡ 0 (mod k)，知 k | 3a，再由 (a, k) = 1，有 k | 3，这与 k > 3 矛盾，故 r₃ ≠ 0；

...

假如 r_k-1 = 0，则由  a+r_k-2 ≡ a+(a+r_k-3) ≡ ... ≡ (k-1)·a ≡ 0 (mod k)，知 k | (k-1)·a，再由 (a, k) = 1，有 k | k-1，这与 k > k-1 矛盾，故 r_k-1 ≠ 0。

接着证明 r₁, r₂, ..., r_k-1, r_k 两两互不相等：

假如 r₂ = r₁，则由同余关系有 a ≡ a+r₁ (mod k)，这与 0 < r₁ < k 矛盾，故 r₂ ≠ r₁；同样，可知 r₃, ..., r_k-1, r_k 也都不等于 r₁；

假如 r₃ = r₂，则由同余关系有 a+r₂ ≡ a+r₁ (mod k)，这与 r₂ ≠ r₁ 且 0 < r₁ < k, 0 < r₂ < k 矛盾，故 r₃ ≠ r₂；同样，可知 r₄, ..., r_k-1, r_k 也都不等于 r₂；

...

假如 r_k-1 = r_k-2，则由同余关系有 a+r_k-2 ≡ a+r_k-3 (mod k)，这与 r_k-2 ≠ r_k-3 且 0 < r_k-3 < k, 0 < r_k-2 < k 矛盾，故 r_k-1 ≠ r_k-2；同样，可知 r_k 也不等于 r_k-2；

假如 r_k = r_k-1，则由同余关系有 a+r_k-1 ≡ a+r_k-2 (mod k)，这与 r_k-1 ≠ r_k-2 且 0 < r_k-2 < k, 0 < r_k-1 < k 矛盾，故 r_k ≠ r_k-1。

综上， r₁, r₂, ..., r_k-1, r_k 这 k 个整数两两不等，且  r₁, r₂, ..., r_k-1 全都大于0且小于k，再由 0 ≤ r_k < k，知 r_k = 0（否则 r_k 必然要和前面 k-1 个数之一相等）。

由以上分析，上面的 k 个同余关系就涵盖了 0 到 a+k 范围内的全体整数，因此对任意 b = k, k > 3 的情形命题成立。

综上，命题得证。

由两个容器还可以拓展到更一般的情形：

用 n (n > 1) 个不规则无刻度的容器从一个无穷大的油桶里取油，这些容器容量都为整数升，分别记为 a₁, a₂, ..., a_n ，且满足(a₁, a₂, ..., a_n) = 1。则所能取得的整数升油量为0到s范围内的全体整数，s = a₁+a₂+...+a_n。

n = 2 的情形就是上述刚才已经证明过的那个命题。当 n > 2 时，要用到如下一个引理，利用这个引理，n > 2 的情形可以等价为 n = 2 的情形。

引理 若n个正整数满足 (a₁, a₂, ..., a_n) = 1，并记 s为这n个数的和，则有 min{ (a₁, s), (a₂, s), ..., (a_n, s) } = 1。

比如，n = 3，3个容器的容量分别为3升、5升和7升，s = 3+5+7 = 15，(3,15) = 3, (5, 15) = 5, (7, 15) = 1，即有 (a₃,s) = 1，即 (a₃,s-a₃) = 1

s-a₃ = a₁+a₂，这时，把容量为a₁和容量为a₂的容器看成一个容器，其容量为 a₁+a₂=3+5=8，用这个复合容器和容量为a₃=7的容器按前述的方法取油，所能取得的整数升油量必然为0到s范围内的全体整数。

遗憾的是，这个引理，我还没有找到方法证明。

韩信分油问题的拓展分析

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