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【网络流】最小点权覆盖集、最大点权独立集

时间:2021-05-24 02:54:24      阅读:0      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:lock   流量   str   mat   而且   line   最大权值   解法   简便   

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简介
解法
模板题及代码

简介

最小点权覆盖集问题指的是:在图中选取一些点,满足图中每条边连接的两个点中,至少一个被选择,求所选取的点最小权值和。

最大点权独立集问题是最小点权覆盖集问题的对偶问题,指的是:在图中选取一些点,满足:图中每条边连接的两个点中,至多一个被选择,求所选取的点最大权值和。

对于一般图而言,这两个问题是 \(NPC\) 问题,因此我们着重讨论二分图情况的解法。

解法

因为两个问题是对偶的,所以我们只需解决最小点权覆盖集问题,下为解法:

构建流网络 \(G_N\)

  • 对原图 \(G\) 二分染色,简便起见,记点的颜色为白点、黑点。
  • 建立源点 \(s\)\(s\) 向白点连接容量为相应点权值的边。
  • 类似地,黑点向汇点 \(t\) 连接容量为相应点权值的边。
  • 图中原有的边连接容量\(∞\) 的边。

在流网络 \(G_N\) 上跑一遍最小割就可以求出答案了。

正确性简证:对于任意一条从 \(s\)\(t\) 的路径,一定存在一条边被割断,而且因为原图对应的边容量为 \(∞\) ,因此割边必然存在于 \(s\) 与白点之间或者黑点与 \(t\) 之间,对应的流量便是选取的最小点权。

(待upd)

【网络流】最小点权覆盖集、最大点权独立集

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Tenshi/p/14747496.html

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