最小乘积生成树

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思想和分治凸包算法很像。
把生成树的\((\sum_x,\sum_y)\)投射到平面上，我们要找到\((x,y)\)使得\(x,y\)最小。
可以证明，最优的\((x,y)\)在凸包上。
证明可见2018国集论文。
考虑怎么求凸包，可以分治，保证当前处理的\((l,r)\)是凸包上的连续一段。
先求出凸包的最左/最右点，设为\(A,B\)这可以用两次mst，我们只需要对\(\sum_x,\sum_y\) mst即可。
考虑凸包上每个点向\(AB\)作垂线。
假设\(C\)到\(AB\)的距离最大，则\(C\)一定在凸包上，可以递归\((A,C),(C,B)\)处理。
考虑如何求出\(C\)，这相当于求出\(C\)使得三角形\(ABC\)的大小最大。
考虑叉积，我们要最小化\(AB\times AC\)
推出式子后发现这是\((x_B-x_A)y_C+(y_A-y_B)x_C-(x_B-x_A)y_A+(y_B-y_A)x_A\)
\(-(x_B-x_A)y_A+(y_B-y_A)x_A\)只要知道\(A,B\)后就能求出。
\((x_B-x_A)y_C+(y_A-y_B)x_C\)，可以把每条边的权值设为\((x_B-x_A)b_i+(y_A-y_B)a_i\)，求mst。
时间复杂度比较玄学

最小乘积生成树

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原文地址：https://www.cnblogs.com/ctmlpfs/p/14808809.html