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同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数\(m\)，如果两个整数\(a\)和\(b\)满足\((a-b)\)能被\(m\)整除，那么我们就称整数\(a\)与\(b\)对模\(m\)同余，记作\(a\equiv b(mod \: m)\)。
自我理解：两个数同时除以\(m\)得到的余数相同。
定义：设\(m\)是大于\(1\)的正整数，\(a,b\)是整数，如果\(m|(a-b)\)，则称\(a\)与\(b\)关于模\(m\)同余，记作\(a\equiv b(mod \: m)\)。
定理1：整数\(a,b\)对模\(m\)同余的充要条件是\(a-b\)能被\(m\)整除（即\(m|a-b\)）。
推论：\(a\equiv b(mod\:m)\)的充分条件是\(a=m\times t+b\)(\(t\)为整数)。
表示对模\(m\)同余关系的式子叫做模\(m\)的同余式，简称同余。
定理2：同余关系具有反身性，对称性与传递性，即
定理3：若\(a\equiv b(mod\:m),c\equiv d(mod\:m)\)，则
对于多个的同模同余式也能进行加减乘运算。对于乘法运算还有一下推论：
推论：若\(a\equiv b(mod\:m)\)，\(n\)为自然数，则\(a\times n\equiv b\times n(mod\:m)\)。
定理4：若\(c\times a\equiv c \times b(mod\:m),(c,m)=d\)，且\(a,b\)为整数，则\(a\equiv b(mod\:\frac{m}{d})\)。
推论：若\(c\times a\equiv c\times b(mod\:m),(c,m)=1\)，且\(a,b\)为整数，则\(a\equiv b(mod\:m)\)。
定理5：若\(a\equiv b(mod\:m),a\equiv b(mod\:n)\)，则\(a\equiv b(mod\:[m,n])\)。
推论：若\(a\equiv b(mod\:m_i),i=1,2,\dots,n\)，则\(a\equiv b(mod\:[m_1,m_2,\dots,m_n])\)。
定理6：若\(a\equiv b(mod\:m),n|m\)，则\(a\equiv b(mod\:n)\)。
定理7：若\(a\equiv b(mod\:m)\),那么\(a^n\equiv b^n(mod\:m)\)。
同余证一些特殊数的整除特征：
算法应用：
定义2：如果\(m\)为自然数，集合\(k_i=\{x|x=m\times t+i,i是任意整数\}，r=0,1,\dots,n\)。则称\(k_0,k_1,\dots,k_{m-1}\)为模\(m\)的剩余类。
剩余类具有如下比较明显的性质：
定义3：从模\(m\)的每个剩余类中任取一个数，所得到的\(m\)的个数叫做模\(m\)的完全剩余系。
定理6：\(k\)个整数\(a_1,a_2,\dots,a_k\)构成模\(m\)的完全剩余系的充要条件是\(k=m\)，且这\(m\)个数对模\(m\)两两不同余。
定理7：若\(x_1,x_2,\dots,x_m\)是模\(m\)的完全剩余系，\((a,m)=1,b\)为整数，则\(a\times x_1+b,a\times x_2+b,\dots,a\times x_m+b\)也是模\(m\)的完全剩余系。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/hy2001/p/14829717.html
