一道不知道来源的题目

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• 平面内有\(n\)个点，保证任意三点不共线，任意四点不共圆。
• 定义两个圆是本质不同的，当且仅当它们包含的点集不同。
• 求本质不同的圆的个数。
• \(n\le10^{18}\)

结论

答案就是\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3\)。

核心在于证明。

证明

考虑\(C_n^0,C_n^1\)，分别代表着包含点数为\(0\)和\(1\)的圆，显然不重不漏。

而对于一个至少包含两个点的点集，我们从一个无穷大的圆不断缩小，肯定在某一时刻有两个点出现在了圆上。然后分类讨论：

• 这两个点之间的连线就是圆的直径。
• 通过对圆的调整使得在整个点集依然完全被包含在圆内的前提下，另一个点出现在了圆上。

两种情况对应方案数分别是\(C_n^2,C_n^3\)，由此便得到了答案。

一道不知道来源的题目

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原文地址：https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/Unknown1.html