SG函数

标签：它的   nim游戏   游戏   strong   函数   clu   元素   minimal   个数   

定义：

mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{1,3,5}=0、mex{}=0。

设SG(x) = { SG(a),SG(b),SG(c) };

设集合S = { SG(a),SG(b),SG(c) };

SG(x) = mex(S)

则 S 是 x 后继状态 SG 函数元素的集合。

SG(x) = 0;//当且仅当 x 为必败点 P 时

SG函数的性质：

首先，所有的目标位置所对应的顶点（没有出边的顶点），其SG值为0，因为它后继状态的集合为空集，对于所有g(x) = 0的顶点x ，它的所有前驱 y 都满足 g(y) != 0，对于所有 g(x) != 0的顶点x，它存在一个后继顶点y满足g(y) = 0。

SG函数的意义：

1、当g(x) = k 时，都存在x的一个后继 y 满足 g(y) = i(0<=i < k)，显然成立

2、当某枚棋子的SG值为 k 时，可以将它变为[0,k)但不能不变。这与Nim游戏相似，每次选择一堆数量为k的石子，可以将它变为小于k的数量，但不能不变。这表明，如果将n枚棋子所在顶点的SG值看作棋子的个数，那么Nim游戏的必胜策略都对应与原来n枚棋子的必胜策略！

3、对于 n 枚棋子，设它们对应的SG值分别为（a1,a2,...,an），再设局面（a1,a2,...,an）

时的Nim游戏的一种必胜策略为把 ai 变成 k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这就相当于可以看作，每次最聪明的操作是按照Nim游戏SG(N)值来移动，例如我们想把SG(N)值变为SG(小于N)，就满足最聪明移动，但我们真正移动的又不是SG(N)的值，移动的是原来顶点N的值，SG(小于N)的值是我们想要的最聪明的值。

SG函数

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