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平衡树入门——替罪羊树

1 简介

替罪羊树是一颗重量平衡树，不需要旋转，但是非常暴力，据说常数很小，但是我写的替罪羊树跑不过 Treap ，可能常数比较大。。。

2 数据结构解析

2.1 节点结构体

struct node{
    int val,l,r,cnt,size,allsize,not_dele_size;
};
node p[N];

\(val\) 是节点权值，\(l,r\) 是左右儿子，\(cnt\) 是权值相同节点个数，\(size\) 是子树大小，注意 \(size\) 并没有重复计数权值相同的节点，也就是子树节点个数，\(allsize\) 是算上了权值相同节点的大小。

那么 \(not\_dele\_size\) 是什么呢？请注意，替罪羊树的删除是惰性删除，也就是说这个节点就算已经被删除了它还是在那里，我们删除的时候只把 \(cnt-1\) ，而不管其他东西，所以 \(not\_dele\_size\) 值得就是不算被删除的节点，子树节点个数是多少。

换句话说，\(size\) 里面算上了被删除节点，而 \(allsize\) 因为统计的是 \(cnt\)，被删除节点的 \(cnt\) 是 \(0\) ，所以 \(allsize\) 里面其实也没有计数被删除节点。

2.2 重构代码

没有旋转，替罪羊树是如何判断并维护整颗树是否平衡呢？我们考虑不平衡一定是一棵树有一颗子树很大，而另一颗子树很小，那么我们如何判断这件事情？我们引入平衡系数—— \(\alpha\)，这个平衡系数选在 \(0.5\) 到 \(1\) 之间，通常取 \(0.7\) ，如果有一颗子树的大小占了整棵树的 \(\alpha\) 还多，我们就认为这颗树不平衡了。

如果使这棵树变得平衡呢？暴力重构整棵树就可以做。我们对这棵树进行中序排序，那么怎样建这颗树是最平衡的？我们取最中间的节点作为树根就是最平衡的，因为平衡树中序排序后的序列是有序的，所以这么做正确性显然。

在重构的时候我们顺便去掉所有已经被删除的节点。

首先是判断是否平衡的代码：

inline bool can_rest(int k){
        return (p[k].cnt)&&(alpha*(dd)p[k].size<=max((dd)p[p[k].l].size,dd(p[p[k].r].size))||((dd)p[k].not_dele_size<=alpha*(dd)p[k].size));
    }

请注意，因为替罪羊树是惰性删除，所以要时刻注意如何处理被删除节点，不能让被删除节点产生影响。除了判断子树大小，如果没有被删除的节点太多，也影响效率，我们也进行重构。

接下来是中序排序的代码和重构的代码：

inline void mid_travel(int &tail,int k){
    if(!k) return;
    mid_travel(tail,p[k].l);
    if(p[k].cnt) mid_tra[tail++]=k;
    mid_travel(tail,p[k].r);
}
inline int rest_build(int l,int r){
    if(l>=r) return 0;
    int mid=l+r>>1;
    p[mid_tra[mid]].l=rest_build(l,mid);
    p[mid_tra[mid]].r=rest_build(mid+1,r);
    pushup(mid_tra[mid]);return mid_tra[mid];
}

需要注意的是，这里的 \(rest\_build\) 函数是把 \([l,r)\) 这段区间进行重构。最终 \(rest\_build\) 会返回整棵树的根节点。

而第 \(4\) 行我们保证了去掉被删除节点。

调用：

    inline void rest(int &k){
        int tail=0;
        mid_travel(tail,k);
        k=rest_build(0,tail);
    }

调用完后，整颗以 \(k\) 为根的子树被彻底重构。

2.3 新节点与合并信息

inline void pushup(int k){
    p[k].size=p[p[k].l].size+p[p[k].r].size+1;
    p[k].allsize=p[p[k].l].allsize+p[p[k].r].allsize+p[k].cnt;
    p[k].not_dele_size=p[p[k].l].not_dele_size+p[p[k].r].not_dele_size+(p[k].cnt!=0);
}
inline int new_node(int val){
    tot++;p[tot].cnt=p[tot].size=p[tot].allsize=p[tot].not_dele_size=1;
    p[tot].val=val;p[tot].l=p[tot].r=0;return tot;
}

其中 \(tot\) 是节点总数，包括被删除节点。这比较显然，不作讲解。

2.4 插入

inline void insert(int &k,int val){
    if(!k){
        k=new_node(val);
        return;
    }
    if(val==p[k].val) p[k].cnt++;
    else if(val<p[k].val) insert(p[k].l,val);
    else insert(p[k].r,val);
    pushup(k);if(can_rest(k)) rest(k);
    return;
}

插入比较简单，只需要在需要重构的时候重构，注意先合并再重构。

2.5 删除

inline void delete_(int &k,int val){
    if(!k) return;
    if(p[k].val==val){
        if(p[k].cnt) p[k].cnt--;
    }
    else if(val<p[k].val) delete_(p[k].l,val);
    else delete_(p[k].r,val);
    pushup(k);if(can_rest(k)) rest(k);
    return;
}

因为替罪羊树是惰性删除，所以删除也比较显然，注意不要在第 \(4\) 行后直接写return; 因为节点 \(k\) 需要合并。

2.6 查询后继排名和前驱排名

    inline int upper_rank(int k,int val){
        if(!k) return 1;
        else if(p[k].val==val&&p[k].cnt) return p[p[k].l].allsize+1+p[k].cnt;
        else if(val<p[k].val) return upper_rank(p[k].l,val);
        else return p[p[k].l].allsize+p[k].cnt+upper_rank(p[k].r,val);
    }
    inline int lower_rank(int k,int val){
        if(!k) return 0;
        if(p[k].val==val&&p[k].cnt) return p[p[k].l].allsize;
        else if(p[k].val<val) return p[p[k].l].allsize+p[k].cnt+lower_rank(p[k].r,val);
        else return lower_rank(p[k].l,val);
    }

这里的坑点比较多，但是实现比较巧妙。注意第 \(3,9\) 行不要忘记判断被删除节点，\(4,5\) ，\(10,11\) 行不能交换，这涉及到如果 p[k].val==val 并且 p[k].cnt==0 ，对于查后继排名来说，它需要进入 p[k].r ，对于查前驱排名来说，它需要进入 p[k].l 。所以两个判断不能交换，其他都比较显然。

2.7 查询值

inline int getval(int k,int rank){
        if(!k) return 0;
        if(p[p[k].l].allsize<rank&&rank<=p[p[k].l].allsize+p[k].cnt) return p[k].val;
        else if(p[p[k].l].allsize+p[k].cnt<rank) return getval(p[k].r,rank-p[p[k].l].allsize-p[k].cnt);
        else return getval(p[k].l,rank);
    }

这个比较显然，注意第三行已经去除了被删除节点的影响。

2.8 查询排名，找前驱后继

    inline int getrank(int k,int val){
        int ans=lower_rank(k,val);
        return ans+1;
    }
    inline int getpre(int k,int val){
        return getval(k,lower_rank(k,val));
    }
    inline int getnext(int k,int val){
        return getval(k,upper_rank(k,val));
    }

这个比较显然，也不作讲解。

引用

OI wiki

平衡树入门——替罪羊树

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原文地址：https://www.cnblogs.com/TianMeng-hyl/p/14904825.html