题解 loj #3524. 「IOI2021」钥匙

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题意

考虑暴力，以每个点为起点走下去，看能到达多少个点，最后返回每个点可到达的点是否是最小值即可。可以获得 \(37pts\) 。

发现如果要求每个点能到达多少个点是没法做的，但我们根本不需要求这个，我们只需要求是否是最小值就可以了。

观察性质，如果从 \(x\) 出发可以到达 \(y\) ，那么\(p_x \geq p_y\) 。如果严格大于，那么必须 \(x\) 能到 \(y\) 但是 \(y\) 不能回到 \(x\) ，这时 \(x\) 一定不是最小值，可以把它扔了。

接着发现如果 \(x\) 不合法，那么所有可以到达 \(x\) 的都不合法，都可以扔掉。

于是假设我们维护了一堆强连通分量，那么每个强连通分量里面如果有一个不合法的这一整个就废了。

考虑这样一个过程：我们不断扩展点，假设原来的点是 \(u\) ，新扩展的点是 \(v\) 。如果 \(v\) 不合法，那么把 \(u\) 所在的强连通分量废掉；如果 \(v\) 恰好被扩展过了，说明可以把 \(v\) 并到 \(u\) 所在的强连通分量里面；如果 \(v\) 没扩展过，那就考虑它能不能回来，判断它是否有用。

这样最后没用的点都会被删掉，只留下有用的。合并的时候可能要用并查集启发式合并或者线段树启发式合并，复杂度应该是 \(O((n+m)\log n)\) 的。（代码还没写，明天早上起来写。）

先放一下暴力代码吧。

#include <vector>
#include "keys.h"
using namespace std;
const int N=1000005;
vector<pair<int,int> > g[N];
vector<int> e[N];
int p[N],q[N];
bool vs[N],usd[N];
std::vector<int> find_reachable(std::vector<int> r, std::vector<int> u, std::vector<int> v, std::vector<int> c) {
	std::vector<int> ans(r.size(), 1);
	const int n=r.size();int i,j,minn=1e9,top1,top2;
	for(i=0;i<u.size();++i) g[u[i]].push_back(make_pair(v[i],c[i])),g[v[i]].push_back(make_pair(u[i],c[i]));
	for(i=0;i<n;++i){
		for(j=0;j<n;++j) vs[j]=0,e[r[j]].clear(),usd[r[j]]=0;
		top1=top2=0,q[++top2]=i,vs[i]=1,usd[r[i]]=1;
		while(top1<top2){
			const int top=q[++top1];
			for(const auto&p : g[top]) (!usd[p.second])?e[p.second].push_back(p.first),0:(!vs[p.first]?vs[p.first]=1,q[++top2]=p.first:0);
			if(!usd[r[top]]){
				usd[r[top]]=1;
				for(const int&p : e[r[top]]) !vs[p]?vs[p]=1,q[++top2]=p:0;
				e[r[top]].clear();
			}
		}
		for(j=0;j<n;++j) p[i]+=vs[j];
		if(p[i]<minn) minn=p[i];
	}
	for(i=0;i<n;++i) ans[i]=(p[i]==minn);
	return ans;
}

题解 loj #3524. 「IOI2021」钥匙

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Kylin-xy/p/ioi2021-keys.html