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极限，比如说数列极限，直观来讲说的是“当n越来越大时，数列\({\{ a}_{n}\}\)越来越靠近实数L”，而其正式定义，也称为数列极限的(ε, N)定义，却这么描述：设 \(\left\{ a_{n} \right\}\) 为数列，\(a\) 为定数. 若对任给的正数 \(\varepsilon\), 总存在正整数 \(N\),使得当\(n > N\)时有\(\left| a_{n} - a \right| < \varepsilon\)，则称数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) 收敛于\(a\)，定数\(a\)称为数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\)的极限1。初学者对极限的直观印象在这种定义里几乎完全得不到反映，好多学生看后不知所言为何物，然后却又不得不马上拿着这个定义去证明各种极限，即便是最后很机械地、按部就班地凑出了该定义要求的形式，学生们对这一切还是耿耿于怀，不知道自己在干什么，究其原因还是因为这个定义不容易看出极限“影子”、不够直观，更具体来讲，极限最初在我们的直观认识里是一个动态的概念，如本文一开始所说的那样，它说的是一种动态过程（当n越来越大时，数列\({\{ a}_{n}\}\)越来越靠近极限值L），但在该定义里，这种动态过程完全消失了，所以该定义也被称为极限的静态（static）定义2，本文将提出一种更直观的极限动态（dynamic）定义，然后阐明它和静态定义的关系。
下文将先用苏格拉底教学法（Socratic method）行文，旨在通过启发性的方式一步一步地构建出严谨的数列极限动态定义。
师：当n越来越大时，数列\({\{ a}_{n}\}\)越来越靠近极限值L。这一现象用数学语言怎么描述？
生：对于数列中任意一项\(a_{p}\)及其后面任意一项\(a_{q}\)有\({|a}_{p} - L| > {|a}_{q} - L|\)。如果我们拿这个条件再来以\(a_{q}\)作为起点的话，那么其后必有任意一项\(a_{r}\)使得\({|a}_{q} - L| > {|a}_{r} - L|\)，这样如果先记\(a_{p}\)，\(a_{q}\)，\(a_{r}\)三项的下标p，q，r分别为\(n_{1},\ n_{2},n_{3}\)，后续我们同样可以找到一系列的下标\(n_{4},\ n_{5},n_{6},\ldots\)以至于有
\[{|a}_{n_{1}} - L| \geq {|a}_{n_{2}} - L| \geq {|a}_{n_{3}} - L| \geq \ldots\]
这实际上是上面的约束条件的另外一种等价表述，该不等式表达了“后面的项总比前面的项更靠近极限”这个意思。
师：如果要让你的描述对常数数列的极限情况仍然适用，该怎么修改？
生：那应该改成\(\geq\)，即：对于数列中任意一项\(a_{p}\)及其后面任意一项\(a_{q}\)有\({|a}_{p} - L| \geq {|a}_{q} - L|\)。
师：现在让我们来看\(f(x) = \frac{\sin x}{x}\)。当x越来越大时，也即分母越来越大时，由于分子sinx始终在-1到1之间，所以函数值在x越来越大时越来越靠近0。
现在我们构造一数列\({\{ a}_{n}\}\)，每个\(a_{n}\)的值均是((n-1)π, nπ)上函数值域中的任意一个，那么该数列有极限吗？如果有，极限是多少？
生：有极限，值为0。因为函数值在x越来越大时整体越来越靠近0，从各区间((n-1)π, nπ)上函数值域中任意取出来的值组成的数列也符合这一趋势，所以数列\({\{ a}_{n}\}\)的极限也是0。
师：很好！那对于该数列的极限，你之前的数学语言还适用吗？
生：我发现这种情形下可能会有\({|a}_{p}| < |a_{q}|\)的情况，而这里L=0，所以就不会有\({|a}_{p} - L| \geq {|a}_{q} - L|\)这个结果了，所以只有把“任意的\(a_{q}\)”改成“存在\(a_{q}\)”才行，即：对于数列中任意一项\(a_{p}\)，其后总存在\(a_{q}\)使得\({|a}_{p} - L| \geq {|a}_{q} - L|\)。
师：对，在极限过程中并非后面的项都比前面的项更靠近极限，而是存在后面的项比前面的项更靠近极限，这个例子加深了我们对极限现象的准确掌握。
生：是的，确实有了进一步的认识。
师：如果将数列\(\{\frac{1}{n}\}\)的前10000项换为1,2,3，…，10000，那么这个数列的极限还是不是0的？
生：呃……也是，毕竟极限研究更关心的是数列足够靠后的项的表现，前面有限多项的值是什么我们并不关心。
师：好，认识到这点之后你刚才的数学语言仍能描述这种情况吗？
生：不能了，如果\(a_{p} = a_{10000} = 0\)，那么\(a_{p}\)的后面就找不到\(a_{q}\)使得\({|a}_{p} - L| \geq {|a}_{q} - L|\)了。所以不能说\(a_{p}\)也是可以任意取的了，\(a_{p}\)的选取要看数列中是否存在有限个（正整数个）值为极限值的项，如果存在，那么\(a_{p}\)只能取数列中值为极限值的最后那一项之后的任意一项，否则的话\(a_{p}\)可任取。所以我的表述应该修改为：对于数列中某项之后的任意\(a_{p}\)（这里的“某项”要看数列中是否存在正整数个值为极限值的项来定），其后总存在\(a_{q}\)使得\({|a}_{p} - L| \geq {|a}_{q} - L|\)。这里因为\(a_{p}\)的选取条件导致整个描述稍显啰嗦，不够简洁，所以可改成另外一种更简洁的叙述：存在\(n_{1},\ n_{2},n_{3},\ldots\)使得\({|a}_{n_{1}} - L| \geq {|a}_{n_{2}} - L| \geq {|a}_{n_{3}} - L| \geq \ldots\)，其中\(n_{1},\ n_{2},n_{3},\ldots\)均是原数列中满足本不等式的任意一项的下标。
师：对于数列\(\{\frac{1}{n}\}\)，当n越来越大时，\(\frac{1}{n}\)越来越靠近0，但\(\frac{1}{n}\)是不是也越来越靠近\(- 1\)呢？
生：呃……也是啊！
师：你现在的极限语言排除得了这种情况吗？
生：不能。
师：所以你现在的描述里没反映出数列\({\{ a}_{n}\}\)足够靠后的项可以无限接近L，或者说没有限制足够靠后的项接近的只能是L而不是其它数。
生：是哦！那么我认为还必须要求自某一项之后的所有项和L的差值可以小于预先任意指定的足够小的正数，这一要求用数学符号语言可以表述为：总有某项之后的所有\(a_{n}\)满足\({|a}_{n} - L| < \varepsilon\)，这里ε是足够小的正实数。
师：关于“ε是预先指定的足够小的正实数”这一点，ε取1可以吗？
生：呃……也可以取1，不过1似乎不够小，换为0.1似乎会更好点。
师：那为什么0.1可以而1就不妥呢？你判断的标准是什么？
生：我只是凭感觉觉得1似乎不能当作足够小的正实数，0.1倒是可以。
师：数学理论是不能靠着这种模糊不清的凭感觉的方式提出的，你必须给“足够小的正实数”一个明确的定义才行。
生：不妨定义任何在\(\ (0,\ \frac{1}{10^{M}}\rbrack\)内的数都是“足够小的正实数”，其中\(M\)是预先任意指定的正整数，简单起见，我们甚至可以直接取ε为\(\frac{1}{10^{M}}\)，即\(\varepsilon = \frac{1}{10^{M}}\)。这样前面这个条件就应该改成：总有某项之后的所有\(a_{n}\)满足\({|a}_{n} - L| < \frac{1}{10^{M}}\)，这里M是预先任意指定的正整数。
师：孺子可教也！
生：承蒙老师指点！
至此，我们就得出了能完全描述数列极限现象的两个条件：
总有后面的项比前面的项更接近于实数L，对应的数学语言描述是：存在\(n_{1},\ n_{2},n_{3},\ldots\)使得\({|a}_{n_{1}} - L| \geq {|a}_{n_{2}} - L| \geq {|a}_{n_{3}} - L| \geq \ldots\)，其中\(n_{1},\ n_{2},n_{3},\ldots\)均是原数列里满足本不等式的任意一项的下标，且\(n_{1} < n_{2} < n_{3} < \ldots\)。
足够靠后的所有项可以接近实数L到任意程度，对应的数学语言描述是：总有某项之后的所有\(a_{n}\)满足\({|a}_{n} - L| < \frac{1}{10^{M}}\)，此处M是预先任意指定的正整数，这里的“某项”只能通过解这个不等式来确定。
何满足上述两个条件的实数L就称为数列\({\{ a}_{n}\}\)的极限，极限的动态过程在条件（1）里得到了反映，所以我们可以把上述两个条件看作是数列极限的动态定义。
现在让我们回头再看最初对数列极限的感性认识：“当n越来越大时，数列\({\{ a}_{n}\}\)越来越靠近极限值L”，这种认识反映的只是上述的条件（1）而疏漏了条件（2），由此可见这种直观认识的缺陷，作为修正，我们可以这么说：当n越来越大时，数列\({\{ a}_{n}\}\)越来越靠近极限值L，并且足够靠后的项可以接近实数L到任意程度。
再看极限的(ε, N)定义，该定义反映不出极限的动态性，它只表明对于任给的正数\(\varepsilon\),总有某项之后的所有\(a_{n}\)满足\({|a}_{n} - L| < \varepsilon\)，其次，为了说明数列里足够靠后的项可以接近极限值到任意程度，用了任意指定的正数ε来限定足够靠后的项和极限值的距离，这是一种很松散的、模棱两可的限定，ε即可以往小了取也可以往大了取，自然就不能够明确反映出“数列里足够靠后的项可以接近极限值到任意程度”这层意思，所以在本文给出的极限动态定义中，直接用\(\frac{1}{10^{M}}\)取代ε，因为对于\(\frac{1}{10^{n}}\)，当n越来越大时，\(\frac{1}{10^{n}}\)便会越来越小，越来越靠近0，变得要多小有多小，所以笔者相信用\(\frac{1}{10^{M}}\)取代ε更能反映出数列里的项可以接近极限值到任意程度这层意思，请读者就此再次回顾条件（2）。
实际上有了条件（2）便自然有条件（1），证明：取满足\({\frac{1}{10^{M}} > |a}_{n} - L|\)的一项为\(a_{n_{1}}\)，取满足\(|a_{n_{1}} - L| \geq {|a}_{n} - L|\)的一项为\(a_{n_{2}}\)，取满足\(|a_{n_{2}} - L| \geq {|a}_{n} - L|\)的一项为\(a_{n_{3}}\)，…其中\(n_{1},\ n_{2},n_{3},\ldots\)均是原数列里满足本不等式的任意一项的下标，并且\(n_{1} < n_{2} < n_{3} < \ldots\)，显然\(a_{n_{1}}\)，\(a_{n_{2}}\)，\(a_{n_{3}}\)，…能满足条件（1）。所以从逻辑角度来看条件（1）不是必要的，但如果把条件（1）去掉，那么极限的“动态性”便得不到反映了。实际上把条件（2）里的\(\frac{1}{10^{M}}\)换回ε便是我们既熟悉又陌生3的数列极限的(ε, N)定义，也就是说去掉条件（1）之后极限的动态定义就变成了静态定义，但静态定义相比于动态定义并不能很贴切地、很直观地反映极限现象。虽然从逻辑角度来看条件（1）是多余的，但从认知角度来看它的存在却是大有裨益的——它反映着极限的动态性，它使得极限定义更加符合我们的直观认识，没有了它的极限静态定义会在理解上对学生带来很大的困难。所以笔者提议：（1）以本文的动态定义作为数列极限的标准定义，因为它使得极限定义更加符合我们的直观认识，进而就可以避免静态定义给学生造成的那些困扰；（2）以现在教材里的(ε, N)定义作为极限值的判定方法，因为它相比极限动态定义更简洁，用来判定极限自然就比极限动态定义更方便；（3）如果前两条建议都得不到采纳， 那么至少应该介绍一下如何从极限动态定义走向静态定义，否则的话当前不少学生受极限静态定义之苦的局面仍然得不到解决；（4）函数极限的(ε, δ)定义也同样给学生们带来了难以理解的困扰，可以考虑用海涅（Eduard Heine）的极限定义来作为函数极限的正式定义4（具体是：对于任何一个收敛于\(x_{0}\)的数列\({\{ x}_{n}\}\)，且各个\(x_{n} \neq x_{0}\)，如果数列\({\{ f(x}_{n})\}\)的极限是L，那么我们说L是\(f(x)\)在\(x_{0}\)处的极限），因为该定义更能反映出函数极限的动态性，可把(ε, δ)定义作为极限值的判定方法。
数学分析，华东师范大学数学系编，第四版，p23??
What Is Mathematics? Second Edition, Courant and Robbins, p306??
说它“熟悉”是因为它是教材里唯一使用的定义，说它“陌生”是因为这个定义不那么直观，不能反映极限的“动态性”。??
Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, p82??
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原文地址：https://www.cnblogs.com/iMath/p/14940837.html
