立方数差

?

题目描述

给出一个质数 \(p\)，要求你判断这个质数是否是两个立方数的差，即判断是否存在正整数 \(a, b\) 满足 \(a^3-b^3=p\)。

输入格式

从文件 cubicp.in 中读入数据。

多组数据。

第一行给出一个 \(T\)，表示有 \(T\) 组数据。

接下来 \(T\) 行，每行一个质数 \(p\)。

输出格式

输出到文件 cubicp.out 中。

输出 \(T\) 行，对于每个数如果是立方差数，输出 YES，否则输出 NO。

样例

样例输入

5
2
3
5
7
11

样例输出

NO
NO
NO
YES
NO

数据范围与提示

对于 \(30\%\) 的数据， \(2\leq p\leq 100\)；

对于 \(60\%\) 的数据， \(2\leq p\leq 10^6\)；

对于 \(100\%\) 的数据， \(2\leq p\leq 10^{12}\) ， \(1\leq T\leq 100\) ，并且保证每个 \(p\) 均为质数。

立方差公式：\(a^3-b^3=(a-b)\times(a^2+ab+b^2)\)

根据题意（doge），我们可以知道 \(p\) 是一个质数，且\(p=a^3-b^3\)。

那么，

所以根据因式分解的性质(?)可以知道

（PS：因为一个质数的因式只有它本身和1，并且如果 \(a-b=p\) 的话，会有 \(a^3-b^3=a-b\) 的离谱情况，所以 \(a-b=1\)）

那么我们只需要枚举 \(a\)，通过 \(a-b=1\) 推出 \(b\), 再以 \(a^3-b^3=p\) 来判断是否成立即可。

（PS： \(a\) 大概从 \(1\) 枚举到 \(\frac{p}{2}\)，就可以了（吧？））

但是，因为 \(a-b=1\) ，我们可以得到

再结合 \(p\) 是质数，可以得到 \(p-1\) 是 3 的倍数。

进一步地，有

那么

所以，有

至此，推理完毕。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll T, p;

int main(void) {
    freopen("cubicp.in", "r", stdin);
    freopen("cubicp.out", "w", stdout);

    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> p;
        p -= 1;
        if (p % 3 != 0)
            cout << "NO" << endl;
        else {
            p /= 3;
            ll t = sqrt(p);
            if (t * (t + 1) == p)
                cout << "YES" << endl;
            else
                cout << "NO" << endl;
        }
    }

    return 0;
}