矩阵相关知识

§1 矩阵及其运算

教学要求 ： 理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。

知识要点 ：

一、矩阵的基本概念

矩阵，是由 个数组成的一个  行 列的矩形表格，通常用大写字母  表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素  表示，其中下标  都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如， 或 表示一个 矩阵，下标 表示元素  位于该矩阵的第  行、第 列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个  矩阵 ，也称为一个  维列向量；而一个  矩阵 ，也称为一个  维行向量。

当一个矩阵的行数  与烈数 相等时，该矩阵称为一个  阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个  阶方阵的主对角线上的元素都是  ，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为  ，即： 。如一个 阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，  是一个 阶下三角矩阵，而 则是一个 阶上三角矩阵。今后我们用  表示数域 上的矩阵构成的集合，而用  或者 表示数域 上的 阶方阵构成的集合。

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法 ： 如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说  ），则定义它们的和  仍为与它们同型的矩阵（即 ）， 的元素为 和 对应元素的和，即：  。

给定矩阵 ，我们定义其负矩阵  为： 。这样我们可以定义同型矩阵 的减法为： 。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列 运算律：

（ 1）交换律：  ；

（ 2）结合律：  ；

（ 3）存在零元：  ；

（ 4）存在负元：  。

2 、数与矩阵的乘法 ：

设 为一个数， ，则定义 与 的乘积 仍为 中的一个矩阵，  中的元素就是用数  乘 中对应的元素的，即  。由定义可知： 。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：

（1 ） ；

（2 ） ；

（3 ） ；

（4 ） 。

3 、矩阵的乘法：

设 为 距阵， 为 距阵，则矩阵  可以左乘矩阵  （注意：距阵 德列数等与矩阵  的行数），所得的积为一个  距阵 ，即 ，其中，并且 。

据真的乘法满足下列 运算律（假定下面的运算均有意义）：

（ 1）结合律：  ；

（ 2）左分配律：  ；

（ 3）右分配律：  ；

（ 4）数与矩阵乘法的结合律：  ；

（ 5）单位元的存在性：  。

若 为 阶方阵，则对任意正整数  ，我们定义：  ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合律，我们有：  ， 。

注意： 矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：

（1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便  有意义， 也未必有意义；倘使 都有意义，二者也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这个原因，一般来讲，  ， 。

（2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即  未必能推出 或者 （请读者自己举反例）。

（3 ）消去律部成立：如果  并且 ，未必有 。

4 、矩阵的转置 ：

定义：设 为 矩阵，我们定义  的转置为一个  矩阵，并用 表示 的转置，即：  。矩阵的转置运算满足下列运算律：

（1 ） ；

（2 ） ；

（3 ） ；

（4 ） 。

5、对称矩阵 ：

定义1.11  阶方阵 若满足条件：  ，则称 为对称矩阵；若满足条件： ，则称 为反对称矩阵。若设  ，则 为对称矩阵，当且仅当  对任意的 成立； 为反对称矩阵，当且仅当  对任意的 成立。从而反对称局针对角线上的元素必为零。对称矩阵具有如下性质：

（1 ）对于任意 矩阵 ， 为 阶对称矩阵；而  为 阶对称矩阵；

（2 ）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；

（3 ）如果两个同阶（反）对称矩阵  可交换，即 ，则它们的乘积  必为对称矩阵，即  。

思考题：

1 、设 为第 个分量为 ，而其余分量全为零的  维列向量， 为第个分量为 ，而其余分量全为零的  维列向量， 为 矩阵，试计算  ；

2 、设 为 阶方阵，并且对任意  有 ，你能得出什么结论？