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NOI2012 骑行川藏 解题报告

时间:2014-05-19 17:53:20      阅读:246      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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  当我还没看别人的解题报告时,我用了三分法做了40%的数据。

  围观大神的解题报告,要通过100%的数据要用到拉格朗日乘数法求得最值。

  Wiki上的解释是这样的:Wikipedia

  Wiki的解释我自己看不太懂,下面这个视频可能让你能对拉格朗日乘数法有更好的认识:麻省理工学院《拉格朗日乘数法》

 

  下面介绍一下拉格朗日乘数法是如何工作的:

  问题:在g(x1, x2, x3, ..., xn) = c的约束条件下,求f(x1, x2, x3, ..., xn)的最值。

  我们把问题具体化一下:令g(x, y) = xy = 3,f(x, y) = x2 + y2 ,求f(x, y)的最小值。

  我们可以猜到,f(x, y)的最小值是6。

 

  因为f(x, y)取得最值时受到g(x, y)条件的约束,那么f(x, y)的法向量应当与g(x, y)的法向量相平行。

  于是我们得到下面的方程组:

  fx = λgx  ==> 2x = λy

  fy = λgy  ==> 2y = λx

  g = 3      ==> xy = 3

 

  解得λ = ±2 ,代入方程组解得 (x, y) = (31/2, 31/2) 或 (x, y) = (-31/2, -31/2)

  如果你还看得不太明白,那么推荐你看看上面的那段视频。

 

  显然到了现在,你就应该明白这道题是怎么回事了。

  f(v1, v2, v3, ..., vn) = ∑ si / vi 

  g(v1, v2, v3, ..., vn) = ∑ kisi(vi-vi)2

  我们有n+1个方程组:

  -s1 / v12 = 2λk1s1(v1-v1‘)

  -s2 / v22 = 2λk2s2(v2-v2‘)

  ...

  -sn / vn2 = 2λknsn(vn-vn‘)

  g = E

 

  下面,我们先二分λ的值,再根据上面n个方程依次二分计算出v1, v2, ..., vn的值,代到g(v1, v2, ..., vn)函数中比较g与E的大小,缩小 λ 的范围。

 

bubuko.com,布布扣
 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cmath>
 5 #include <algorithm>
 6 
 7 #define N 10001
 8 
 9 using namespace std;
10 
11 int n;
12 double E, s[N], k[N], vp[N], v[N], maxv[N], lamada, ans;
13 
14 double getVi(int i, double lam)
15 {
16     double left = vp[i], right = maxv[i], mid;
17     while (right - left >= 1e-13)
18     {
19         mid = (left + right) / (double)2;
20         if (mid == right || mid == left) break;
21         if (mid * mid * 2 * lam * k[i] * (mid - vp[i]) + 1 > 0) left = mid;
22         else right = mid;
23     }
24     return left;
25 }
26 
27 double balance()
28 {
29     double pans = -E;
30     for (int i=1;i<=n;i++)
31         pans += s[i] * k[i] * (v[i] - vp[i]) * (v[i] - vp[i]);
32     return pans;
33 }
34 
35 double getlamada(double left, double right)
36 {
37     double mid;
38     while (right - left >= 1e-13)
39     {
40         mid = (left + right) / (double)2;
41         if (mid == right || mid == left) break;
42         for (int i=1;i<=n;i++) v[i] = getVi(i, mid);
43         double ban = balance();
44         if (ban > 0) right = mid;
45         else left = mid;
46     }
47     return left;
48 }
49 
50 int main()
51 {
52     freopen("bicycling.in","r",stdin);
53     freopen("bicycling.out","w",stdout);
54     scanf("%d%lf",&n,&E);
55     for (int i=1;i<=n;i++)
56     {
57         scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&vp[i]);
58         maxv[i] = vp[i] + sqrtl(E / s[i] / k[i]);
59     }
60     lamada = getlamada(-1000, -1e-13);
61     ans = 0;
62     for (int i=1;i<=n;i++)
63         ans += s[i] / v[i];
64     printf("%.8lf\n", ans);
65     return 0;
66 }
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原文地址:http://www.cnblogs.com/africamonkey/p/3734844.html

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