【线性代数】正交投影

标签：线性代数   正交向量   投影矩阵   

   1、二维投影

上图表示的是，向量b在向量a上的投影。显然有如下表达式：

其中，P为投影矩阵，由P的表达式可以看出，它具有如下性质：

2、三维投影

由于e垂直平面，则e向量垂直与平面中的任意向量，则有：

将上式化简求得x：

又因为p=Ax，Pb=p，则得到投影矩阵为：

由P的表达式可以看出，它具有如下性质：

上面的投影矩阵是通式，当投影在一维情况时，A即为直线上的任意一个向量a,投影矩阵为：

3、举例说明

如上图，假设我们要将向量b投影到水平面上，其投影为p，a1,a2为水平面的两个线性无关向量，它们的参数分别为：

那么A=[a1 a2]即：

由上面我们求得的通式，可得投影矩阵P:

知道投影矩阵P后，我们可以得到b在水平面上的投影p为：

三维图的matlab程序如下：

clear all
clc
 
a1=[1 0 0];
a2=[0 1 0];
b=[1 1 1];
p=[1 1 0];
e=b-p;
quiver3(0,0,0,a1(1),a1(2),a1(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,a2(1),a2(2),a2(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,p(1),p(2),p(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(p(1),p(2),p(3),e(1),e(2),e(3),1,'color','b')

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41174555

作者：nineheadedbird

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