一、图的存储结构
1.1 邻接矩阵
图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组(邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。
设图G有n个顶点,则邻接矩阵是一个n*n的方阵,定义为:
看一个实例,下图左就是一个无向图。
从上面可以看出,无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij =
aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴,右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。
从这个矩阵中,很容易知道图中的信息。
(1)要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了;
(2)要知道某个顶点的度,其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或(第i列)的元素之和;
(3)求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍,arc[i][j]为1就是邻接点;
而有向图讲究入度和出度,顶点vi的入度为1,正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2,即第i行的各数之和。
若图G是网图,有n个顶点,则邻接矩阵是一个n*n的方阵,定义为:
这里的wij表示(vi,vj)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值,也就是一个不可能的极限值。下面左图就是一个有向网图,右图就是它的邻接矩阵。
那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢?代码如下。(有向图)
#include <iostream> typedef char VertexType; //顶点类型 typedef int EdgeType; //边权值类型 #define INF 65535 //用65535来代表无穷大 typedef struct { VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表 EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵,可看作边 int numVertexes, numEdges; //图中当前的顶点数和边数 }Graph; void CreateGraph(Graph *G) { int i,j,k,w; printf("输入顶点数和边数:\n"); scanf("%d%d",&G->numVertexes,&G->numEdges); getchar(); printf("输入%d个顶点符号:\n",G->numVertexes); for(i=0;i<G->numVertexes;i++) scanf("%c",&G->vexs[i]); getchar(); for(i=0;i<G->numVertexes;i++) for(j=0;j<G->numVertexes;j++) G->arc[i][j]=INF; for(k=0;k<2*G->numEdges;k++)//关于循环次数无向图G->numEdges次,有向图G->numEdges*2次 { printf("输入边(vi,vj)上的下标i,j和权w:");//如果是有向图,就按照方向输入下标 scanf("%d%d%d",&i,&j,&w); G->arc[i][j]=w; G->arc[j][i]=G->arc[i][j];//有向图去掉这句 } } //打印图 void printGraph(Graph g) { int i, j; for(i = 0; i < g.numVertexes; i++) { for(j = 0; j < g.numVertexes; j++) { printf("%d ", g.arc[i][j]); } printf("\n"); } } int main() { Graph g; //邻接矩阵创建图 CreateGraph(&g); printGraph(g); return 0; }
测试数据:
4 6
ABCD
0 1 8
0 2 7
0 3 65535
1 0 65535
1 2 4
1 3 65535
2 0 65535
2 1 65535
2 3 2
3 0 5
3 1 3
3 2 65535
输出:
1.2 邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构,但是,对于边数相对顶点较少的图,这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此,找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。
邻接表的处理方法是这样的:
(1)图中顶点用一个一维数组存储,当然,顶点也可以用单链表来存储,不过,数组可以较容易的读取顶点的信息,更加方便。
(2)图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表,由于邻接点的个数不定,所以,用单链表存储,无向图称为顶点vi的边表,有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
例如,下图就是一个无向图的邻接表的结构。
从图中可以看出,顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示,data是数据域,存储顶点的信息,firstedge是指针域,指向边表的第一个结点,即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域,存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标,next则存储指向边表中下一个结点的指针。
对于带权值的网图,可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域,存储权值信息即可。如下图所示。
对于邻接表结构,图的建立代码如下。(无向图)
#include <iostream> #define MAXVEX 1000 //最大顶点数 typedef char VertexType; //顶点类型 typedef int EdgeType; //边上权值类型 typedef struct EdgeNode //边表结点 { int adjvex; //邻接点域,存储该顶点对应的下标 EdgeType weigth; //用于存储权值,对于非网图可以不需要 struct EdgeNode *next; //链域,指向下一个邻接点 }EdgeNode; typedef struct VertexNode //顶点表结构 { VertexType data; //顶点域,存储顶点信息 EdgeNode *firstedge; //边表头指针 }VertexNode, AdjList[MAXVEX]; typedef struct { AdjList adjList; int numVertexes, numEdges; //图中当前顶点数和边数 }GraphList; //建立图的邻接表结构 void CreateGraph(GraphList *g) { int i, j, k; EdgeNode *e; printf("输入顶点数和边数:\n"); scanf("%d%d", &g->numVertexes, &g->numEdges); getchar(); for(i = 0; i <g->numVertexes; i++) { printf("请一次一个输入顶点%d:\n", i); scanf("%c",&g->adjList[i].data); //输入顶点信息 getchar(); g->adjList[i].firstedge = NULL; //将边表置为空表 } g->adjList[i].firstedge = NULL; //建立边表 for(k = 0; k < g->numEdges; k++)//关于邻接表的循环次数无向图与与有向图都是g->numEdges次 { printf("输入无向图边(vi,vj)上的顶点序号和权值:\n"); int w; scanf("%d%d%d",&i,&j,&w); e =new EdgeNode; e->adjvex = j; //邻接序号为j e->weigth = w; //边<vi,vj>的权值 e->next = g->adjList[i].firstedge;//将e指针指向当前顶点指向的结构 g->adjList[i].firstedge = e;//将当前顶点的指针指向e e = new EdgeNode; e->adjvex =i; e->weigth = w; //边<vj,vi>的权值 e->next = g->adjList[j].firstedge; g->adjList[j].firstedge = e; } } void printGraph(GraphList *g) { int i = 0; while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX) { printf("顶点:%c\n", g->adjList[i].data); EdgeNode *e = NULL; e = g->adjList[i].firstedge; while(e != NULL) { if(e->adjvex!=i) printf("邻接点下标:%d 边:<%c,%c> weigth: %d\n", e->adjvex,g->adjList[i].data,g->adjList[e->adjvex].data,e->weigth); e = e->next; } i++; printf("\n"); } } int main(int argc, char **argv) { GraphList g; CreateGraph(&g); printGraph(&g); return 0; }
测试数据:
4 6
A
B
C
D
0 2 5
0 3 7
1 0 8
2 1 3
2 3 2
3 1 4
输出:
1.3 十字链表
对于有向图来说,邻接表是有缺陷的。关心了出度问题,想了解入度就必须要遍历整个图才知道,反之,逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法:十字链表,就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。
重新定义顶点表结点结构,如下所示。
其中firstin表示入边表头指针,指向该顶点的入边表中第一个结点,firstout表示出边表头指针,指向该顶点的出边表中的第一个结点。
重新定义边表结构,如下所示。
其中,tailvex是指弧起点在顶点表的下表,headvex是指弧终点在顶点表的下标,headlink是指入边表指针域,指向终点相同的下一条边,taillink是指边表指针域,指向起点相同的下一条边。如果是网,还可以增加一个weight域来存储权值。
比如下图,顶点依然是存入一个一维数组,实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说,firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以,v0边表结点hearvex
= 3,而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0,由于v0只有一个出边顶点,所有headlink和taillink都是空的。
重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说,它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点,如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2,如上图圆圈2。对于顶点v1,它有一个入边顶点v2,所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点,如上图圆圈3。
十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起,这样既容易找到以v为尾的弧,也容易找到以v为头的弧,因而比较容易求得顶点的出度和入度。
而且除了结构复杂一点外,其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的,因此,在有向图应用中,十字链表是非常好的数据结构模型。
这里就介绍以上三种存储结构,除了第三种存储结构外,其他的两种存储结构比较简单。
文章内容参考大话数据结构!!!原文地址:http://blog.csdn.net/u014492609/article/details/41146593