标签：囚犯问题 协议设计
邪恶而心思缜密的典狱长最近心血来潮，于是召集了100个囚犯。望着眼前的囚徒，他的嘴角弯起了一个得意的弧度：
“宣布一个好消息，大家有机会获释了。”
“我们一起做个轻松愉快游戏，赢的人可以立即走出这里。"
"说下游戏规则吧。游戏开始后，我会把你们随机排成一列。然后给每个人背上贴一张纸条，黑色或者白色。规矩是，后面的人能看到前面人的颜色，但是前面的人不能回头看后面的人，更不能看自己的纸条。一旦发现违规，——全部处死。游戏开始以后，每个人从后往前依次报出自己的颜色。当让了，前面的人能听到后面的人说了什么。如果说对了，给你自由；说错的话，处死！”
底下人潮涌动。
欣赏着各色表情，狱长先生继续说："呵呵，刚才与诸位开个玩笑。只不过，猜错的某位，要劳烦在这里多待一个寒暑罢了。”
随即，目光下沉：“但要记住，只能报‘黑’或‘白’。多说一个字，立即处死。"
“明早，这里集合；9点钟，游戏开始。先生们，能获得多少自由，就看你们自己的了，不要让我失望哦。”
那么问题来了，这群囚犯应该商量一个什么样的对策，才能让自己获释的机会最大呢？
如果每个人随机回答自己的颜色，所有的人只有五成的机会。
如果后面的人报出前面一个人的颜色作为提示。前面一个人可以确保自由，后面的人仍然只有一半的机会。总体上有75%的机会。
是否还有更好的方法呢？
这个方法是存在的，而且好到可以让前面的99个人自由，后面的一个人有一半的机会自由，总体上达到99.5%的成功率。
那么这个策略是什么样的呢？
看下已知量是什么：
1）每个人可以看到前面的人，也可以听到后面的人。如果后面的人报的颜色是正确的话（最后一个人除外），他可以知道：除了他以外，其他人的帽子颜色。
2）游戏开始以后，所有人的帽子颜色值是一定的。这是一个不变量。
黑色用1表示，白色用0表示。
最后一个人可以看到前面99个人有多少个1（黑色）。如果是奇数个，他就报1（黑色），如果是偶数个，就报0（白色）。
前面的听到最后一个人的暗示以后，就知道自己这99个人当中黑白的奇偶j；当然他也知道其他人帽子颜色。所以就可以推测出自己的颜色。
举个例子：
6个人从前往后帽子颜色是：
0 1 0 1 1 0
最后一个人看到有3个1，于是就报1，发出暗示。当然他也就牺牲小我，成就大我。
第5个人看到前面有2个1，于是知道自己也是1，就报1（黑色）。
第4个人听到第5个人是黑色，也看到前面3个人有1个黑色，加起来是2个黑色，所以自己必然是黑色。
第3个人可以知道前5个人中，除了自己有3个黑色，于是知道自己是白色
依次类推，前5个人都可以准确猜出自己的颜色。
如果是100个人，依此进行。
把这个问题进行抽象，我们实际上要对前99个值做一个运算，得到的值{0,1}作为最后一个人的暗号
这个运算函数是F， F(B1, B2, ...，B99)的值就是B100
最后每个人i可以通过B100，以及{Bk, k不等于i}这个集合，做F的逆运算，然后得到自己的值。
我们的目标就是找到这个函数F
最后我们找到的这个函数F就是：计算集合{Bi, 1<=i<=99}中1的奇偶性。奇数用1表示，偶数用0表示。
用计算机当中的位运算来说说，这是一个异或函数。
标签：囚犯问题 协议设计
原文地址：http://blog.csdn.net/kingoverthecloud/article/details/41172117
