[题目]设$f(x)=\prod_{j=1}^{2013}(x-j)^2+2014$，问$f(x)$在有理数域内是否可约？为什么？
[分析]2014是个“噱头”，不是本质的，应该对更一般的$n$都成立，注意到：
，所以猜测对$f(x)=\prod_{j=1}^{n}(x-j)^2+n+1$,$n$为奇数结论成立。2
(x?2)
2
+3=(x
2
?x+1)(x
2
?5x
+7)
[解答]不可约。用反证法，如果可约，那么$f(x)$一定在整数环上可约，即存在$g(x),h(x)\in Z[x]$满足$deg(g(x))>1,deg(h(x))>1$，使得$f(x)=g(x)h(x)$。对两边求导，并取$x=1,2,\ldots,2013$，有
′
(j)h(j)+g(j)h
′
(j)=0,?j=1,2,…,
2013.(?)
Claim 1: $f(x)$没有重根。
事实上,命$u(x)=\prod_{j=1}^{2013}(x-j)$,则$f(x)=u(x)^2+2014$,$f‘(x)=2u(x)u‘(x)$.因为$u(x)$的根恰好为$1,2,\ldots,2013$，由Rolle中值定理，$u‘(x)$的2012个根恰好分别位于$(j,j+1),j=1,2,\ldots,2012$中，所以$f‘(x)$的根都是实根，而$f(x)$没有实根，所以$f(x)$与$f‘(x)$没有公共根，故 $f(x)$没有重根。
Claim 2：$g(x)>0,h(x)>0,\forall x\in R.$
因为$f(x)>0,\forall x\in R$，所以$g(x),h(x)$一定没有实数根，故它们都是偶数次的。一个偶数次整系数多项式没有实数根，那么一定恒正。故$g(x)>0,h(x)>0,\forall x\in R.$
Claim 3: 存在$k\in\{1,2,\ldots,2013\}$,使得$g‘(k)h‘(k)\neq 0$.
若否，由$(*)$以及$g(x)>0,h(x)>0,\forall x\in R.$可知对$\forall j\in\{1,2,\ldots,2013\},g‘(j)=h‘(j)=0$.
注意到$deg(g‘(x)),deg(h‘(x))$至少有一个小于等于2012,从而$g‘(x)\equiv 0$,或者$h‘(x)\equiv 0$,这都将与$deg(g(x))>1,deg(h(x))>1$矛盾。
由$(*)$可知$g‘(k)h(k)^2+h‘(k)g(k)h(k)=0$，即$g‘(k)h(k)^2+h‘(k)f(k)=0$.由于$f(x)$没有重根，可知$h(x)$也没有重根.(未完待续)
2014北京大学考研高等代数第一题解答,布布扣,bubuko.com
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