标签：poj 1222 extended lights out 高斯消元 熄灯问题
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2 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0
Sample Output
PUZZLE #1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 PUZZLE #2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
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转载分析：这个游戏的名字叫做Lights Out。一个板子上面有MxN个按钮，按钮也是灯。每次按下一个按钮，这个按钮和它的上下左右相邻按钮将同时切换各自的亮灭状态。给你一个初始状态，请给出一种方法，按某些按钮，使得所有的灯都灭。
这个游戏有一些技巧：
1、按按钮的顺序可以随便。
2、任何一个按钮都最多需要按下1次。因为按下第二次刚好抵消第一次，等于没有按。
这个问题可以转化成数学问题。
一个灯的布局可以看成一个0、1矩阵。以3x3为例：
0 1 0
1 1 0
0 1 1
表示一个布局。其中0表示灯灭，1表示灯亮。
每次按下按钮（POJ1222）或者叫一个宿舍关灯（0998），可以看成在原矩阵上加（模2加，就是按位异或）上一个如下的矩阵：
0 1 0
1 1 1
0 1 0
上述矩阵中的1表示按下第2行第2列的按钮时，作用的范围。如果按左上角的按钮，就是：
1 1 0
1 0 0
0 0 0
我们记L为待求解的原始布局矩阵。A(i,j)表示按下第i行第j列的按钮时的作用范围矩阵。在上述例子中，
L=
0 1 0
1 1 0
0 1 1
A(1,1)=
1 1 0
1 0 0
0 0 0
A(2,2)=
0 1 0
1 1 1
0 1 0
假设x(i,j)表示：想要使得L回到全灭状态，第i行第j列的按钮是否需要按下。0表示不按，1表示按下。那么，这个游戏就转化为如下方程的求解：
L + x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = 0
其中x(i,j)是未知数。方程右边的0表示零矩阵，表示全灭的状态。直观的理解就是：原来的L状态，经过了若干个A(i,j)的变换，最终变成0:全灭状态。
由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成：
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L
这是一个矩阵方程。两个矩阵相等，充要条件是矩阵中每个元素都相等。将上述方程展开，便转化成了一个9元1次方程组：
简单地记做：AA * XX = LL
这个方程有唯一解：
x(1,1) x(1,2) x(1,3)
x(2,1) x(2,2) x(2,3)
x(3,1) x(3,2) x(3,3)
=
1 1 1
0 0 0
0 0 1
也就是说，按下第一行的3个按钮，和右下角的按钮，就
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能使L状态变成全灭状态。
对于固定行列的阵列来说，AA矩阵也是确定的。是否存在解，解是否唯一，只与AA矩阵有关。对于唯一解的情形，只要将LL乘以AA的逆矩阵即可。具体求AA的逆矩阵的方法，可以用高斯消元法。 由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成： 将1式两边同时加上一个L矩阵就可以变成 A（1，1）把矩阵 转化为一个列向量，L也转化为一个列向量， 将sigma xi*Ai=Li 对应位置的值相等就可以建立方程组了 X1*A(1,1)1+X2*A(1,2)1+X3*A(1,3)1+…………X30*A(30,30)1=L1; mod 2 X1*A(1,1)2+X2*A(1,2)2+X3*A(1,3)2+…………X30*A(30,30)2=L2; mod 2 X1*A(1,1)3+X2*A(1,2)3+X3*A(1,3)3+…………X30*A(30,30)3=L3 mod 2 ……. ……. ……. X1*A(1,1)30+X2*A(1,2)30+X3*A(1,3)30+…………X30*A(30,30)30=L30; mod 2 其中A(i,j)k 表示列向量A中第K个元素 这里的*表示点乘，Xi取(1,0) +表示模2加法，所以在高斯消元的时候可以用^异或运算
CODE： #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int map[33][33];
void init()
{
for ( int i = 1; i <= 30; i++ )
{
map[i][i] ^= 1;
if ( ( i % 6 ) != 1 )///注意边界
map[i ][i - 1] ^= 1;///左
if ( i % 6 )
map[i][i + 1] ^= 1;///右
if ( i - 6 > 0 )
{
map[i][i - 6] ^= 1;///上
}
if ( i + 6 <= 30 )
map[i][i + 6] ^= 1;///下
}
}
void gauss()
{
for ( int i = 1; i <= 30; i++ )
{
if ( map[i][i] == 0 )
{
int ii = i + 1;
while ( ii <= 30 && map[ii][i] == 0 ) ii++;
for ( int r = 1; r <= 31; r++ )
swap ( map[ii][r], map[i][r] );
}
for ( int j = 1; j <= 30; j++ )
{
if ( i == j )
continue;
if ( map[j][i] == 0 )
continue;
for ( int k = i; k <= 31; k++ )
{
map[j][k] ^= map[i][k];
}
}
}
}
int main()
{
int t;
while ( ~scanf ( "%d", &t ) )
{
int ca = 1;
while ( t-- )
{
memset ( map, 0, sizeof ( map ) );
int a[33];
for ( int i = 1; i <= 30; i++ )
scanf ( "%d", &a[i] );
init();
cout << "PUZZLE #" << ca++ << endl;
for ( int i = 1; i <= 30; i++ )
map[i][31] = a[i];
gauss();
for ( int i = 1; i <= 30; i++ )
{
if ( i % 6 == 0 )
cout << map[i][31] << endl;
else
cout << map[i][31] << ' ';
}
}
}
return 0;
}
|
poj 1222 EXTENDED LIGHTS OUT(高斯消元)
标签：poj 1222 extended lights out 高斯消元 熄灯问题
原文地址：http://blog.csdn.net/acm_baihuzi/article/details/41254217
