【转】序贯平差

序惯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分期进行。本节的理论公式推导，以分两组为例。

一、序惯平差原理

设某平差问题，观测向量，现把它分为两组，组内相关，组间互不相关，即：

                 （8-1-1）

按间接平差原理选取参数，取近似，改正数为，分组后两组的误差方程分别为

                                  权阵                     （8-1-2a）

                                 权阵                    （8-1-2b）

                            （i=1、2）

若按整体平差，误差方程可以写为

                  权阵为

按间接平差原理可得其法方程为

即

由上式可得

按分组平差，先对第一组误差方程进行第一次平差（因未顾及第二组观测值，所以第一次平差只能得到的第一次近似值，用表示）。函数模型可改写为

                              权阵                    （8-1-3）

按间接平差原理，可以直接给出公式，其法方程为

                                               （8-1-4）

未知参数的第一次改正数

                                                    （8-1-5）

未知参数的第一次平差值

                                                        （8-1-6）

第一次平差后未知参数的权阵为

                                                     （8-1-7）

将代入（8-1-3）式，得观测值的第一次改正数，而。

再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应把第一次平差后求得的参数作为虚拟观测值参与平差，其权阵为。误差方程为：

                       （8-1-8）

由上式知 ，其中称为参数的第二次改正数。联合第二组误差方程。即：

                                （8-1-9）

其中 或 。

由（8-1-8）、（8-1-9）联合组成法方程为

即

                                         （8-1-10）

由上式可得参数的第二次改正数为

                                               （8-1-11）

将上式代入（8-1-9）即可求得第二组观测值的整体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何求呢？我们可以用分别代替（8-1-2a）中的，即：

因为经过第一次平差后，已使成立，所以有

                                                              （8-1-12）

最后的平差值为：

                                              （8-1-13）

                                                             （8-1-14）

                                              （8-1-15）

下面给出精度评定公式。

单位权中误差估值：

                                                        （8-1-16）

其中，推证如下：

而

所以

但是

并顾及，则有

                                   （8-1-17）

未知参数的协因数阵：

                                             （8-1-18）

未知参数函数的协因数及中误差：

设有参数函数的权函数式：

                                 （8-1-19）

                                                     （8-1-20）

例[8-1] 如图8-1水准网，为已知点，第一期同精度独立观测，第二期同精度独立观测，观测值为：，，，，，试按逐次间接平差法求两点高程的平差值及点高程的中误差？

解：本题，选两点高程平差值为未知参数，并取其近似值为：

①     列立第一期误差方程

                 权阵

写成的形式为

②     组成法方程

③     解得参数的第一次改正数及其权阵

④     求第一期观测值的第一次改正数

⑤     列立第二期误差方程，可用第一期平差后的参数平差值直接列立，此时误差方程常数项就是，即

     权阵

写成矩阵形式

也可以用参数的初始近似值列出，此时的误差方程常数项为，即

其中

则误差方程可写为

结果一样。

⑥     顾及第一次平差结果，组成法方程

即

⑦     求解参数的第二次改正数及平差值

⑧     计算第二期观测值的改正数

⑨     计算单位权中误差

⑩     计算C点高程平差值中误差，即参数的中误差

二、序惯平差的三种特殊情况

1．第二次平差增加新的参数

设两组的误差方程为

                              权阵                   （8-1-21）

                            权阵                   （8-1-22）

式中是共同的未知参数，是新增加的未知参数。

    第一次平差可得：                            （8-1-23）

                                                       （8-1-24）

                                                      （8-1-25）

第二次平差的误差方程为

                               权阵           （8-1-26）

                    权阵                       （8-1-27）

式中： 或                  （8-1-28）

组成法方程为

                        （8-1-29）

                                 （8-1-30）

解算法方程可得，代入（8-1-27）可求得 。最后得参数平差值为

2．二次平差的参数仅是第一次平差参数的一部分

设两组的误差方程为：

                       权阵                    （8-1-31）

                             权阵                    （8-1-32）

第一次平差的法方程为：

                                    （8-1-33）

                                 （8-1-34）

由法方程可求得，其权阵为：      

                                           （8-1-35）

    二次平差的误差方程

                                  权阵                （8-1-36）

                        权阵               （8-1-37）

式中： 或

顾及（8-1-35）式，组成法方程如下：

                                               （8-1-38）

               （8-1-39）

由（8-1-38）式可得：

                                               （8-1-40）

将代入（8-1-39）式，整理后得

                                       （8-1-41）

式中

                （8-1-42）

由（8-1-41）可解得。参数的平差值为

                                            （8-1-43）

                                          （8-1-44）

3．上述两种情况的综合

两组的误差方程为：

                           权阵                （8-1-45）

                          权阵                 （8-1-46）

第一次平差与上述第二种情况完全相同，其法方程、、权阵、参数的第一次平差值等见（8-1-33）、（8-1-34）、（8-1-35）式，其中的计算见（8-1-42）式。      

二次平差类似于第一种情况的第二次平差，由下列法方程解得，常数项由（8-1-49）求得。

             （8-1-47）

                                       （8-1-48）

其中    或                 （8-1-49）

按下式计算的值

                                                （8-1-50）

最后计算参数的平差值

                                             （8-1-51）

                                             （8-1-52）

                                                           （8-1-53）

例[8-2] 设有两组误差方程为

                   权阵

                   权阵

试按逐次间接平差法求未知参数的平差值。

解：本题符合第三种特殊情况，即符合如下形式：

即

第一次平差的法方程为：

即

其解为

未知参数的权阵为

第二次平差的法方程为

即

其解为

而

参数的平差值为

即