本文和上一篇笔记一样：语言十分啰嗦。请大家忍耐……

以前我不懂统计的时候（现在也不懂），只知道数据出来了要做三件事：1，检验一下数据是否符合正态分布；2，如果符合正态分布，就进行T检验，看P值是否小于0.05；3，如果数据不符合正态分布，就用另外的“非参数检验”。但是我完全不明白这些名词背后是什么原理。

这些原理是这样的：

举个例子：好比我们有一个H0假设（不希望出现的假设）说：“抽烟人群的肺活量和非抽烟人群没有差异”。我们已经知道非抽烟人群的肺活量均值是u0。因此H0假设就意味着：如果在抽烟人群中抽一个足够大的样本，这个样本的均值应该来自一个均值为u0的正态分布。

为什么样本的均值会服从正态分布呢？当然是因为高大上的“中心极限定理”。

好的，现在我们真的去抽了一个抽烟者样本，算出一个肺活量均值，发现它比非抽烟者的肺活量均值u0低了不少。但是这个时候我们还不能说H0假设就是错的。因为H0假设可以自我辩解说：本来嘛，你的样本均值是来自我这个正态分布，那当然有可能高有可能低。没准你这次只是碰巧抽到一帮肺活量低的人，是你运气不好。

面对这种狡辩，我们……竟然毫无办法！因为这种可能性确确实实是存在的，而且基本上是永远不可能排除掉的。我们任何一个基于统计做出的研究结论，都无法完全否定这样的质疑：你的样本并不能代表“真实”情况，你得到这个结果只是“碰巧”。除非你像超人一样抽样，拿到了全世界所有抽烟者的肺活量数据，才能排除这种所谓“第一类错误”。

但如果要这样想的话，那所有的研究都没法做了。所以我们找了一个现实一点的妥协方案：确实，在你H0假设之下，我是有可能抽样抽到这个均值；但只要让我发现抽到这样的均值的概率小于0.05，我就认为这里面有问题。我认为0.05这么小概率的事情是不可能发生在我身上的。所以如果我们的抽烟者肺活量均值在H0假设之下发生的概率小于0.05，我们就拒绝H0假设，认为抽烟者的平均肺活量和非抽烟者相比，是下降的。

基本上，上面几段只是重复了我第一篇笔记里的内容。所以如果你看过我第一篇笔记的话，可以跳过前面，从这里开始阅读。（那你一开始为什么不说咧！）

那么，我们怎么计算：“在H0假设之下，抽到这个均值的概率”呢？上面说了，H0假设认为，样本均值u来自一个均值为u0的正态分布。我们手里也有样本标准差S。样本的容量是n。那么这就结了，我们把这个正态曲线画出来，把我们的均值标在横坐标上，马上就得到了：在抽样中，抽到的均值小于（或者大于）这个均值的概率。然后我们拿这个概率p去和0.05相比。

这是一个思路，另一个思路是：我们先把0.05所对应的均值在曲线上标出来，这样我们就得到了“可以拒绝H0假设的均值取值范围”。只要我们的均值落在这个范围之内，就说明它悲剧了，它的概率小于0.05；而我们就喜剧了，就可以拒绝H0假设了。而这个范围，我们把它命名为“置信区间”。你把均值“置”入，我就“信”你，这样一个区间。（呃，其实置信区间这个名字另有出处，我以后再另写一篇吧。）

以上这种检验方法是基于正态分布的，我们把它叫做“Z检验”。“Z”代表“正态”的“正”的拼音。（并不是！“Z”在统计学上代表“标准正态分布”。）

但是要应用这种“Z检验”，有个前提：样本容量n要足够大。为什么？同样是因为高大上的“中心极限定理”。我看到课程中举的例题里，使用Z检验的样本容量一般都在100以上。（好像科研实践中是20以上？我忘了。）

那你说我的样本容量只有7啊8啊的，老鼠不给力啊样本收集不上来啊怎么办？没关系，如果你满足另一个前提，你就可以选择我们的另一个优惠套餐。如果你所抽样的那个总体，比如“全体吸烟者的肺活量”，本身服从正态分布的话，就算样本容量小了点，我也可以勉强认为：你的样本均值服从另一种叫做 Student T 的分布。（所以这个优惠套餐是叫学生套餐吗？）

这就是在科研中被大量使用（看来大家的样本数量都不怎么多撒）的：T检验。

注意这里有个容易混淆的概念。Z检验是说：当样本容量足够大时，你的“样本均值”服从某个正态分布。通俗点说：你们实验室去抽了一个样本，得到一个均值；某某大学也做这项研究，也抽了一个样本得到一个均值……这么多均值放在一起，它们是服从正态分布的。为什么？“中！心！极！限！定！理！”

而T检验是说：当样本——那一个个抽烟者的肺活量数字——服从正态分布时，均值服从Student T分布。为什么？抱歉，老师没教……

Student T的分布曲线和正态分布有点像，当然公式不一样。T分布在样本量极大的时候趋近于正态分布。正态分布只要知道均值和标准差就可以画出曲线，T分布还要知道一个值叫“自由度”df，df=n-1。我不知道什么是自由度，但我知道为什么它是n-1而不是n：因为，好比说你的样本里有n个数，你告诉我它们的均值，然后让我猜这n个数是多少。这种情况下，对我来说，前n-1个数都可以“自由”取值，但最后一个却不行。因为一旦前n-1个数确定了，然后根据均值，我就可以算出最后一个数来。所以最后一个数不“自由”。所以自由度是n-1。

自由度在Student T分布和另一种叫“卡方分布”的分布里都有出现。

以上就是Z检验和T检验背后的原理。上面举例举的是一个样本的情况，两个样本的情况可以以此类推。

两个配对样本本质上就是一个样本：比如一个班的学生，期中考的成绩和期末考的成绩，表面上看是两个样本，实际上在做统计的时候，我们是用每个人的期末考减去他本人的期中考，最后还是一个样本。这种情况下H0一般就是两次考试分数没有差异，也就是说期末减期中之后产生的这个样本，其样本均值来自一个均值为0的分布。

两个独立样本情况略复杂，主要是公式里的标准差部分有点变化，均值就拿来直接相减了。具体公式就不写了，其实没必要了解，交给软件或者R就可以了。