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在数论,对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler‘s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。——————欧拉函数的定义
---φ函数的值 通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有
质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1
互质的数(小于等于1)就是1本身)。
(注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
)
---若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
(证明:P^k有p*p*p....*p个p,共P^k个p)
设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
----与N互质所有数的和:sum=n*φ(n)/2;//因为所有大于2的欧拉函数值都是偶数,所以/不会丢失数据
----欧拉函数的证明:
容斥原理:A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C
欧拉函数是积性——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
欧拉函数
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原文地址:http://www.cnblogs.com/zhangmingcheng/p/4125572.html