算导之DP算法的设计心得

时间：2014-05-20 15:40:21 阅读：215 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

和其他的DP帖子只是灌输思考之后的结果不同，这篇是DP算法的自我体会，应该是设计DP算法的思考过程。
斯以为，这才是拿到一问题，从思考到解决最精华的部分：）

犹记得第一次看到算法导论上拿最长与最短路径来说明DP中最优子结构证明过程的一个细节的时候，心里激动不已，国内的教材完全不考虑这个，而是把伟人思考之后的东西呈现给新人。
我第一看到，心想，这就是我要的东西，包括之前的loop invariant也是如此，看国内教材时缺失而又如此渴望的东西，在算导中再次给出完美的答案。

寻找最优子结构：
1. 可以是做一个选择，例如从前两个装配线的加工点中选一个，汽车装配问题；从K-1个位置中选一个断开Matrix Chain；
2. 做出这样一个选择后，问题分为了哪一个或几个子问题，进行描述。
3. 利用“剪切”技术来证明具有最优子结构性质（其实贪心也是这么做的）
矩阵链裂解为两个矩阵链，最后选出的断链位置一定导致对应两个矩阵链的最小乘法次数(最优解)，如果有更优的话，就用更优的去替换当前的，将导致新的当前的解最优，而与当前矩阵链的解是最优的产生矛盾。
汽车装配同理

*注意：这里有一个比较重要的点要提，做出选择分成多个子问题后，子问题之间必须互不影响(或者有影响，经过处理后，可以变得没有影响，且不破坏最优性质)，否则不能证明最有子结构性质。具体地(算导翻译Specifically为特别地，应该不够准确)，如果替换了其中一个的更优的解，然而却使其他子问题变差了，就不能严格证明最后导致
新的当前的解更优，从而不能产生矛盾，也就不从证明。典型反例就是试图证明最长简单路径问题的最优子结构性质。
4. 最重要的一点，就是设计子问题空间了，怎么用数学语言表达？
设计这种东西都是有点只可意会不可言传的。算导是这样说的，先尽量保持空间简单(哲学KISS原则，剃须刀原理)，然后再需要时扩充。后面这个例子特别贴切。
如果对汽车装配问题建模，需要S1[j] S2[j]即可，因为每次的选择都是产生一个子问题，也即S1[j-1] S2[j-1],而矩阵链乘法由于选择裂解成两个子问题，如果用A[j]表示A1...Aj的最优解，如果在Ak断开，前面A1...Ak表示为A[k]，而后面的
Ak+1..Aj不能用这种子问题空间表示，因此需要将子问题空间修改为A[i,j]这样一个二维数组。

针对子问题之间独立，互不影响，据下面的例子。
考虑下面两个问题，无权最短(简单)路径和无权最长(简单)路径，

注：此处->未必是一条边

试图证明最长路径，x->y->z为到z的最长路径的一个选择, 欲证明x->y，y->z也是相应子问题的最长路径。但是若x->y出现了结点u,y->z也出现了u,那么虽然两个子问题都是最长简单路径，但是拼接起来不是简单路径了。所以用剪切技术不能证明。
假如这个x到z的最长路径，x->y，y->z是对应问题的最长路径么？不是！如果试图剪接的话，发现两个更优的解拼接起来不是简单路径了，所以不能拼接。

试图证明试图证明最短路径，x->y->z为到z的最短路径的一个选择, 欲证明x->y，y->z也是相应子问题的最短路径。若x->y出现了结点u,y->z也出现了u, 可以将前段的u->y和y->u去掉，得到的结果一定更优。不可能出现比x->y y->z的更优解了，如果出现了，
可以用更优的替换，从而得出更优的解，如果重复结点，按照上述删除两段路径。

为啥上面没这么做呢，因为删除掉两端之后，只能保证比之前的短，不能保证比之前长(不可能)，这也是两者最微妙之处。

这里面涉及到了一个细节：做出选择后，一个子问题划分成的多个子问题要独立(没有重复顶点)，或者不独立，经过操作(删除两端重复的路径)可以获得正确的更优的解(更短的路径)。

最后顺便套上偶像的话，这篇帖子是我想看背包问题，然后复习DP时临时想写的，对以后设计DP都会有帮助，周董说过，想到一件事情、idea，就要立马去做，不能等，否则以后可能就不会去做了：）

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标签：style c a 算法问题设计

原文地址：http://blog.csdn.net/richardzrc/article/details/26261697

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