BZOJ 1132 POI 2008 Tro 计算几何

标签：bzoj   计算几何   poi2008   叉积   极角   

题目大意：给出平面上的一些点，问这些点中的任意三个点组成的三角形的面积和是多少。

思路：看数据范围只算法系列。由于每个三角形有三个顶点，因此暴力的话应该是O(n^3)的时间复杂度，很明显超时了，但是我们只需要将它优化到O(n^2logn)就可以解决了。

好吧，剩下的随便猜一猜，比如O(n^2)的枚举，然后剩下的logn什么也干不了。。。

再比如O(n)的枚举，然后剩下O(nlogn)排序。。。

好像有戏啊。。

枚举每一个点，计算以这个点为坐标原点，在第一象限的所有点与原点组成的三角形的面积和。计算面积可以用叉积，但是这样算和暴力枚举有什么区别？

利用叉积的性质，我们简单的推倒一下。设原点为O，枚举到的两个点为AB，向量OA = (x1,y1),向量OB = (x2,y2)，则

S-OAB = |x1 * y2 - y2 * x2|

对于固定的一个点A来说，线段OA与其他所有点的面积和就是ΣS = x1 * Σy2 - y1 * Σx2

但是这需要满足面积不能为负数。只需要按照极角或者斜率排序一下就可以避免负数了。这样正好是O(n^2logn)

CODE：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define INF 0x7f7f7f7f
#define MAX 3010
using namespace std;
 
struct Point{
    int x,y;
    double slope;
     
    Point(int _ = 0,int __ = 0):x(_),y(__) {}
    bool operator <(const Point &a)const {
        if(x == a.x)    return y < a.y;
        return x < a.x;
    }
    Point operator -(const Point &a)const {
        return Point(x - a.x,y - a.y);
    }
    void Read() {
        scanf("%d%d",&x,&y);
    }
}point[MAX],now;
 
int points;
 
bool cmp(const Point &a,const Point &b)
{
    return a.slope < b.slope;
}
 
inline long long Calc(int p,int cnt)
{
    static Point temp[MAX];
    now = point[p];
    memcpy(temp + 1,point + p + 1,sizeof(Point) * cnt);
    for(int i = 1; i <= cnt; ++i) {
        temp[i] = temp[i] - now;
        if(!temp[i].x)  temp[i].slope = INF;
        else    temp[i].slope = (double)temp[i].y / (double)temp[i].x;
    }
    sort(temp + 1,temp + cnt + 1,cmp);
 
    static long long sum_x[MAX],sum_y[MAX],re;
    re = 0;
    memset(sum_x,0,sizeof(sum_x));
    memset(sum_y,0,sizeof(sum_y));
    for(int i = cnt; i; --i) {
        sum_x[i] = sum_x[i + 1] + temp[i].x;
        sum_y[i] = sum_y[i + 1] + temp[i].y;
    }
    for(int i = 1; i < cnt; ++i) {
        re += temp[i].x * sum_y[i + 1];
        re -= temp[i].y * sum_x[i + 1];
    }
    return re;
}
 
int main()
{
    cin >> points;
    for(int i = 1; i <= points; ++i)
        point[i].Read();
    sort(point + 1,point + points + 1);
    long long ans = 0;
    for(int i = 1; i <= points; ++i)
        ans += Calc(i,points - i);
    bool flag = ans&1;
    printf("%lld.%d\n",ans >> 1,(int)flag ? 5:0);
    return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/jiangyuze831/article/details/41576587