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普通BST并不能保证在多次操作后仍然保持良好的性能。因此我们需要一种BST，是的每次插入和搜索的开销是该树大大小的对数函数。2-3-4树就是这样一种能够保持平衡的BST。
为了保证BST是平衡的，我们需要树具备一定的灵活性。2-3-4树选择的方法是令结点可以容纳一个以上的关键字。更明确地说，我们将使用三种结点：2-结点，3-结点，4-结点。分别可以容纳1、2、3个关键字。关键字将后续子节点分成区间。如图：
性质：一棵平衡2-3-4搜索树，所有指向空树的链接到根的距离都相同。
解释：这里所谓空树，就是外部链接，即叶子节点的两个NULL链接。所以也可以理解为在平衡2-3-4树中所有叶子结点深度相同。
为了向2-3-4树中插入新节点，我们可以先执行一次失败的搜索，然后插入该节点。但这样新树会不平衡。2-3-4树之所以重要，主要原因在于每种情况下，我们可以进行插入并仍能保持完美的平衡状态。例如：当新关键字插入到2-结点时，可以将其变成一个3-结点。当新关键字插入到3-结点时，可以将其变成一个4-结点。当心关键字插入到4-结点时，可以将其分裂成两个2-结点，并将中间的关键字向上传递，插入到父节点中。如果被分裂4-结点的父节点也是4-结点，可以一直向上不断分裂。一种更容易的方法是：在向下搜索树的过程中，分裂任何遇到的4-结点，从而保证搜索路径不会在一个4-结点终结。我们自上而下地插入过程中，所有遇到的4-结点全部分裂，这也保证了在进入下一层时，出发点绝对不会是4-结点。
关键一点是：这些分裂完全是局部的——除了分裂结点及其父节点部分，其他部分不需要检查或修改，完全不受影响。这为我们维护书的平衡提供了保障。
另外一个细节问题是：只要树根变成4-结点，就及时将其分裂为三个2-结点。分裂树根是唯一的会令树深度增加一层的行为。
下面我们给出一个2-3-4树插入图例。
性质：在n个结点的2-3-4树中搜索，最多访问lgn+1个结点。
解释：根据基本性质，我们有树根到叶子节点深度全部相等。插入例程对于树的深度没有影响，仅当分裂树根时深度加一。如果所有结点为2-结点，根据BST的性质，容易得出上述结果；当存在3-和4-结点时，高度只有可能更低。
性质：对n个结点的2-3-4树进行插入，最坏情况下需要对少于lgn+1个结点进行分裂。平均情况下，所需分裂次数可能少于1。
解释：可能的最坏情况实在通向插入点的路径上所有结点都是4-结点，将全部被分裂。但一般而言不会出现这种情况，因为树中不会存在很多4-结点。
对于2-3-4树的搜索操作，上述描述已经可以给出一个最坏情况下取得良好性能的算法了。虽然我们确实可以写出这样的算法，但其中涉及到的结点控制及分裂过于复杂。这些额外开销可能会导致这些算法比标准BST还慢。应当考虑到平衡的主要目的是为了提供最坏情况保障，提供保障的开销当然也应当越低越好。
因而我们将通过红黑树（Red Black Tree）来作为实现2-3-4树的载体。下一章将深入讨论红黑树的性质及实现。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/rancher/p/4133026.html
