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什么是四元数呢？从数学上讲，四元数是复数的一种。所谓复数就是拥有实部和虚部的数。复数（a,b）定义了数a + bi ，i是所谓的虚数，a为实部，b为虚部，满足i²=-1 。对于复数（a,b）可以把b看做是y轴，把a看做是x轴。四元数拥有三个虚部，一个实部。对四元数（w, x,y,z），w是它的实部，x,y,z是它的虚部。知道了四元数的数学属性，不过为了方便我们的使用而已。比如说复数的共轭，通过使复数的虚部变负，可以计算它的共轭。对四元数来说，共轭的意义在哪儿呢？当四元数的模等于1的时候，它的共轭就等于它的逆。这样对于四元数求逆就变得非常简单了。因为我们通常只关心那些模为1的四元数。
为什么只使用模为1的四元数？先看看如何用轴-角关系描述一个四元数。假设四元数q =（w, x,y,z）表示绕指定轴n旋转角度θ，我们可以这样用轴角的方式表示它: q=(cos(θ/2), sin(θ/2)n)。这是四元数的一个最重要的基本概念—它的四个数究竟和角度、轴有什么关系。可以看到，w分量与cos(θ/2)有关系，虚部向量部分与sin(θ/2)有关系。当n为单位向量的时候，四元数的模² = w²+x²+y²+z² = cos(θ/2)² + sin(θ/2)² n² = cos(θ/2)² + sin(θ/2)² = 1。（根据三角函数定理，sinθ²+cosθ² = 1。） 既然n代表了旋转的轴，我们当然要使得n为单位向量才方便计算，这就是我们为什么只使用模为1的四元数。而四元数的逆又定义为用它的共轭除以它的模。这就是为什么说当四元数的模为一的时候它的共轭等于它的逆了。
四元数的运算有叉乘、点乘、求幂运算等。当我们想要像连接两个矩阵那样连接两个四元数所表示的旋转时，可以使用叉乘进行运算。四元数的点乘和向量的点乘非常相似，其结果是一个标量，分别用其实部相乘再加上虚部向量的点乘结果，得到的标量就是四元数点乘的结果。点乘用来计算两个四元数之间的角度。四元数q1 和 q2的夹角 θ 满足cosθ = q1·q2。 四元数求幂类似于实数求幂，比如q表示绕X轴旋转10°，q²就表示绕x轴旋转20°。对于四元数求幂需要注意我们可以求q²，但是不要在这个基础上进一步运算，比如（q²）²，结果可能不是我们预期的q的四次方。此外，假如已知q1,q2，q1q0 = q2，怎么求q0呢？很简单，用q2乘以q1的逆就可以了。q0 = q1^(-1)q2.注意四元数的叉乘不满足交换律，而且我们通常表示四元数叉乘不用*，使用ab，表示点乘时要用点（·）符号，如a·b。
四元数的一个重要用处就是球面线性插值，slerp。slerp能够在两个四元数之间平滑差值，并且没有欧拉角插值那些问题。计算插值可以参照下图：
如图所示，存在两个非零常数k0和k1，使得vt = k0v0 + k1v1。接下来应用三角公式可以求得vt。想象一个球面，所有模为1的四元数都存在于该平面上。
四元数能够独一无二的提供平滑插值的方法，这是欧拉角和矩阵办不到的。四元数的叉乘能够连接多个旋转，共轭可以更方便的求得逆向旋转，比矩阵的转置更方便一些。四元数使用四个数来表示，比矩阵更经济一些。四元数的主要问题是它非常不直观。而且浮点数的舍入和错误的数据输入可能使它不合法。
通常在使用增量旋转和平滑插值的时候建议使用四元数。进行坐标系间的向量变换时，我们只能使用矩阵。对于给定的方位，矩阵是唯一的，欧拉角有无数个表示方法，四元数有两种，互为负。欧拉角的优点是它总是合法的，而且非常直观，易于使用。当在世界中为物体指定方位时，最好使用直观的欧拉角。
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