CodeForces 489E Hiking

标签：codeforces   数学   

题意：

数轴上有n（1000）个点  每个点有个距离源点的距离xi和美观值bi  主人公站在源点  他希望每步步长len  但每一步必须落在n个点其中一个上  且行进方向唯一  走到点n后可以计算旅行的价值

对于所有走过的点i  val = sum( sqrt( abs(x[i]-x[i-1]-len) ) / b[i] )  目标val尽量小  打印路径方案

思路：

第一次做分数规划题  这题是比较典型的01规划

简单描述一下01规划  就是 ans = sum(ci*xi)/sum(di*xi) 其中xi为{0,1}

常规的解法是变形上述式子 F(ans) = sum(ci*xi) - sum(di*xi) * ans 这时我们将ans当成自变量  构造一个函数  容易发现F是单调的  那么就可以二分ans  将求解最值问题转换成判定可行性问题

对于本题  我们可以将val变形  val = sum(sqrt( abs(x[i]-x[i-1]-len) )/sum(b[i])

那么也可以构建F函数 F(val) = sum(sqrt( abs(x[i]-x[i-1]-len) ) - sum(b[i]) * val 这时我们发现这个表达式由于计算中存在i和i-1位置的联系所以不是那么简单  但是也可以发现  我们将原本的除法式子变成了减法式子  这就会出现承袭性！！  我们可以利用dp计算状态之间的转移 dp[i] = dp[j] + sqrt( abs(x[i]-x[j]-len ) - b[i] * val （真谛就是用dp[j]包含了F中的sum）

这时二分val是logn的  对于每次的val我们可以用n^2的dp进行判定

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<bitset>
using namespace std;
#define N 1010

int n, len;
int x[N], b[N];
int pre[N], out[N];
double dp[N];

bool yes(double ans) {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		dp[i] = 1e30;
		for (int j = 0; j < i; j++) {
			double tmp = dp[j] + sqrt(1e-8 + abs(x[i] - x[j] - len))
					- ans * b[i];
			if (dp[i] > tmp) {
				dp[i] = tmp;
				pre[i] = j;
			}
		}
	}
	return dp[n] < 0;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &len);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d%d", &x[i], &b[i]);
	double l = 0, r = 1e10, mid;
	while (r - l > 1e-8) {
		mid = (l + r) / 2;
		if (yes(mid)) {
			r = mid;
		} else
			l = mid;
	}
	yes(l);
	len = 0;
	out[0] = n;
	while (pre[out[len]]) {
		out[len + 1] = pre[out[len]];
		len++;
	}
	for (int i = len; i >= 0; i--)
		printf("%d%s", out[i], (i == 0) ? "\n" : " ");
	return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/houserabbit/article/details/41684159