[家里蹲大学数学杂志]第033期稳态可压Navier-Stokes方程弱解的存在性

时间：2014-05-22 08:31:41 阅读：364 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

1. 方程考虑 $\bbR^3$ 中有界区域 $\Omega$ 上如下的稳态流动:

{d i v (? u) = 0, d i v (? u ? u) ? μ △ u ? (λ + μ) ? d i v u + ? ? γ = ? f + g . (1)

$\bee\label{eq} \left\{\ba{ll} \Div(\varrho\bbu)=0,\\ \Div(\varrho\bbu\otimes \bbu) -\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n \varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$

2. 假设先作一些初步的假设:

2.1. $\dps{\gamma>\frac{3}{2}}$ ---保证对流项 $\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu)$ 可看成 $\eqref{eq}_2$ 的扰动;

2.2. $\mu>0$ , $\dps{\lambda+\frac{2}{3}\mu\geq 0}$ ---Navier-Stokes 假设;

2.3. 考虑非滑动边界--- $u=0$ 在 $\p \Omega$ 上. 这时可将 Navier-Stokes 假设放宽为

μ > 0, λ + 4 3 μ > 0;

$\bex \mu>0,\quad \lambda+\frac{4}{3}\mu>0; \eex$

2.4. 当 $\dps{\gamma\leq \frac{5}{3}}$ 时, $\bbf$ 适合 $\curl \bbf=0$ --- 此时密度的可积性实在太差, 须将用 $\ve$ -Young 不等式打出来的指标下降, 为此须巧妙的通过 $\eqref{eq}_1$ 把一端零消失:

? ? c u r l f = 0 f = ? φ \int ? f ? u = \int ? u ? ? φ = ? \int d i v (? u) φ = 0;

$\bex & &\curl \bbf=0\\ &\ra& \bbf=\n\varphi\\ &\ra& \int \varrho\bbf\cdot\bbu =\int \varrho \bbu\cdot\n\varphi =-\int \Div(\varrho\bbu)\varphi =0; \eex$

2.5. $\dps{\int \varrho =M>0}$ ---质量守恒.

3. 弱解的三重逼近那么怎么证明 $\eqref{eq}$ 有弱解呢?

3.1. 注意到 $\eqref{eq}_1$ 是退化双曲的, 自然的引进 damping 项 $\alpha\varrho(\alpha>0)$ :

α ? + d i v (? u) = ? .

$\bex \alpha\varrho+\Div(\varrho \bbu)=\cdots. \eex$ 为保证质量守恒, 右端须加上

αh

$\alpha h$ :

α ? + d i v (? u) = α h,

$\bex \alpha \varrho+\Div(\varrho\bbu)=\alpha h, \eex$ 其中

$h$ 满足:

\int h = M .

$\bex \int h=M. \eex$ 再看

(1)

$\eqref{eq}_2$ , 注意到

\int d i v (? u ? u) ? u = = = \int d i v (? u) | u | 2 + \int ? u ? ? | u | 2 2 1 2 \int d i v (? u) | u | 2 α 2 \int (h ? ?) | u | 2,

$\bex \int \Div(\varrho \bbu\otimes \bbu)\cdot\bbu &=&\int \Div(\varrho\bbu)\sev{\bbu}^2 +\int \varrho \bbu\cdot\n\frac{\sev{\bbu}^2}{2}\\ &=&\frac{1}{2}\int\Div\sex{\varrho\bbu}\sev{\bbu}^2\\ &=&\frac{\alpha}{2}\int (h-\varrho)\sev{\bbu}^2, \eex$ 为保证能量不等式还能有效利用, 我们在

(1)

$\eqref{eq}_2$ 中加上

α 2 h u + 3 2 ? u

$\bex \frac{\alpha}{2}h\bbu+\frac{3}{2}\varrho\bbu \eex$ (这样就出现了

α(h+?)|u|

$\alpha\sex{h+\varrho}\sev{\bbu}^2$ ):

α 2 h u + 3 2 ? u + d i v (? u ? u) ? μ △ u ? (λ + μ) ? d i v u + ? ? γ = ? f + g .

$\bex \frac{\alpha}{2}h\bbu+\frac{3}{2}\varrho\bbu +\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu) -\mu\lap\bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n\varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \eex$ 综上所述, 第一次逼近为

? ? ? α ? + d i v (? u) = α h, α 2 h u + 3 2 ? u + d i v (? u ? u) ? μ △ u ? (λ + μ) ? d i v u + ? ? γ = ? f + g . (2)

$\bee \label{eq1} \left\{\ba{ll} \alpha\varrho+\Div(\varrho\bbu)=\alpha h,\\ \frac{\alpha}{2}h\bbu+\frac{3}{2}\varrho\bbu +\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu) -\mu\lap\bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n\varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$

3.2. 注意到 $\eqref{eq1}_2$ 是椭圆方程组, 而椭圆组具有很好的存在正则性理论. 为啥不将 $\eqref{eq1}_1$ 也椭圆正则化呢? 于是我们将 $\eqref{eq1}_1$ 转化为

α ? + d i v (? u) ? ε △ ? = α h (ε > 0) .

$\bex \alpha \varrho +\Div(\varrho\bbu) -\ve\lap\varrho =\alpha h\quad(\ve>0). \eex$ 此时,

(2)

$\eqref{eq1}_2$ 也应相应的变动(以适合能量不等式), 怎么办呢? 注意到

\int d i v (? u ? u) ? u = = = 1 2 \int d i v (? u) | u | 2 (= ? \int (? u ? ? u) ? u) 1 2 \int [α (h ? ? + ε △ ?] | u | 2 α 2 \int (h ? ?) | u | 2 ? ε \int ? i ? ? i u j u j,

$\bex \int \Div(\varrho\bbu\otimes \bbu)\cdot\bbu &=&\frac{1}{2}\int \Div(\varrho\bbu)\sev{\bbu}^2 \quad \sex{=-\int \sex{\varrho\bbu\cdot\n\bbu}\cdot\bbu}\\ &=&\frac{1}{2}\int \sez{\alpha(h-\varrho+\ve\lap \varrho}\sev{\bbu}^2\\ &=&\frac{\alpha}{2}\int (h-\varrho)\sev{\bbu}^2 -\ve \int \p_i\varrho\p_iu_ju_j, \eex$ 最后那个式子

ε \int ? i ? ? i u j u j

$\bex \ve \int \p_i\varrho\p_iu_ju_j \eex$ 最好不要出现在能量不等式中(那样就更简单了). 怎么办呢? 观察上式, 有

\int [d i v (? u ? u + ? u ? ? u] ? u = 0.

$\bex \int \sez{\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu+\varrho\bbu\cdot\n\bbu}\cdot\bbu=0. \eex$ 故为啥不把

(2)

$\eqref{eq1}_2$ 中的

div(?u?u)

$\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu)$ 换成

1 2 d i v (? u ? u + 1 2 ? u ? ? u

$\bex \frac{1}{2}\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu+ \frac{1}{2}\varrho\bbu\cdot\n\bbu \eex$ 呢? 此时, 在第一次逼近中的导入的

α 2 h u + 3 2 ? u

$\bex \frac{\alpha}{2}h\bbu +\frac{3}{2}\varrho\bbu \eex$ 就可直接点了:

α ? u + α h u .

$\bex \alpha\varrho\bbu+\alpha h\bbu. \eex$ 这样, 我们获得了第二次逼近:

? ? ? ? ? ? ? ? ? α ? + d i v (? u) ? ε △ ? = α h, α h u + α ? u + 1 2 d i v (? u ? u) + 1 2 ? u ? ? u ? μ △ u ? (λ + μ) ? d i v u + ? ? γ = ? f + g . (3)

$\bee\label{eq2} \left\{\ba{lll} \alpha\varrho+\Div(\varrho\bbu) -\ve\lap \varrho =\alpha h,\\ \alpha h\bbu +\alpha \varrho\bbu +\frac{1}{2}\Div\sex{\varrho\bbu\otimes\bbu} +\frac{1}{2}\varrho\bbu\cdot\n\bbu\\ \quad\quad\quad \quad\quad\quad -\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n\varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$

3.3. 对于 $\eqref{eq2}$ , 我们大概可以用 Leray-Schauder 不动点定理证明弱解的存在性. 回忆 Leray-Schauder 不动点定理. 设 $X$ 是一 $Banach$ 空间, $D\subset X$ 为其一有界开集. 再设 $H:\bar D\times[0,1]\to X$ 是一紧算子的同伦, 满足 (1) $\exists\ u_0\in D,\ s.t.\ H(u_0,0)=u_0$ ; (2) $0\neq (I-H(\cdot,t))(\p D),\ t\in [0,1]$ . 则

? t \in [0, 1], ? u t \in D, s . t . H (u t, t) = u t .

$\bex \forall\ t\in [0,1],\ \exists\ u_t\in D,\ s.t.\ H(u_t,t)=u_t. \eex$ 注记. 在 PDE 中, 为应用 Leray-Schauder 不动点定理, 仅须作先验估计及利用 Sobolev 紧嵌入. 故而通过求解过程

u ? 质量守恒 ? = S (u) ? 动量守恒 u,

$\bex \bbu\stackrel{\mbox{质量守恒}}{\mapsto} \varrho=S(\bbu) \stackrel{\mbox{动量守恒}}{\mapsto} \bbu, \eex$ 我们先用 Leray-Schauder 不动点定理证明

? ε △ ? = α (h ? ?) ? d i v (? u)

$\bex -\ve\lap\varrho =\alpha(h-\varrho)-\Div(\varrho\bbu) \eex$ 有解

?=S(u)

$\varrho=S(\bbu)$ , 然后再次用之得到

? μ △ u ? (λ + μ) ? d i v u = ? [α h u + α S ( u ) u + 1 2 d i v ( S ( u ) u ? u ) + 1 2 S ( u ) u ? ? u + ? S ( u ) γ ? S ( u ) f ? g]

$\bex & &-\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu\\ & &=-\sez{ \alpha h\bbu +\alpha S(\bbu)\bbu +\frac{1}{2}\Div\sex{S(\bbu)\bbu\otimes\bbu} +\frac{1}{2}S(\bbu)\bbu\cdot\n\bbu\atop +\n S(\bbu)^\gamma -S(\bbu)\bbf-\bbg} \eex$ 的解

$\bbu$ . 如此,

(S(u),u)

$(S(\bbu),\bbu)$ 就是

(1)

$\eqref{eq}$ 的弱解了. 剩下就是构造合适的工作空间. 注意到质量守恒本身就是带输运的, 自然

u \in W 1, \infty .

$\bex \bbu\in W^{1,\infty}. \eex$ 那么

?∈?

$\varrho\in ?$ 引入 Bogovskii 算子

$\calB$ , 我们有

? ε △ ? = d i v [α B (h ? ?) ? ? u] .

$\bex -\ve\lap \varrho =\Div\sez{\alpha\calB(h-\varrho)-\varrho\bbu}. \eex$ 于是

∥ ? ? ∥ s \leq \leq \leq C ε ∥ α B (h ? ?) ? ? u ∥ s C ε [α ∥ h ∥ s + ∥ ? ∥ s] C ε ∥ h ∥ s (∥ ? ∥ s \leq C ∥ h ∥ s , s \to 1 + , 直观上可以看作是质量守恒的正则化扰动) .

$\bex \sen{\n\varrho}_s &\leq& \frac{C}{\ve}\sen{\alpha \calB(h-\varrho)-\varrho\bbu}_s\\ &\leq& \frac{C}{\ve}\sez{\alpha \sen{h}_s+\sen{\varrho}_s}\\ &\leq& \frac{C}{\ve}\sen{h}_s\quad \sex{\sen{\varrho}_s\leq C\sen{h}_s,\ s\to 1^+,\atop\mbox{直观上可以看作是质量守恒的正则化扰动}}. \eex$ 如此, 通过 Sobolev 嵌入及 Bootstrap,

∥ ? ∥ 1, p \leq C (u) ∥ h ∥ p .

$\bex \sen{\varrho}_{1,p}\leq C(\bbu)\sen{h}_p. \eex$ 从而再由正则性理论,

∥ ? ∥ 2, p \leq C (u) ∥ h ∥ p (? 1 < p < \infty) .

$\bex \sen{\varrho}_{2,p}\leq C(\bbu)\sen{h}_p\quad\sex{\forall\ 1<p<\infty}. \eex$ 为了有紧, 同样可设

? \in W 1, \infty .

$\bex \varrho\in W^{1,\infty}. \eex$ 工作空间选好了, 那些先验估计就是 technical 的了. 这样, 我们就可以取极限 (比如

ε→0

$\ve\to 0^+$ ,

α→0

$\alpha\to 0^+$ ). 但现在问题来了, 压力项的极限怎么办? (其他项由 div-curl 引理而容易处理)? 为此, 引入人工压力项

δ(?

)

$\delta(\varrho^2+\varrho^\beta)$ (

$\beta$ 充分大,

$2$ 是技术处理, 以获得密度的更高可积性, 而有更好的强收敛, 有重整化解, 对

γ>3/2

$\gamma>3/2$ 能够统一处理), 而得到第三次逼近

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? α ? + d i v (? u) ? ε △ ? = α h, α h u + α ? u + 1 2 d i v (? u ? u) + 1 2 ? u ? ? u ? μ △ u ? (λ + μ) ? d i v u + ? (? γ + δ (? 2 + ? β)) = ? f + g . (4)

$\bee\label{eq3} \left\{\ba{lll} \alpha\varrho+\Div(\varrho\bbu) -\ve\lap \varrho =\alpha h,\\ \alpha h\bbu +\alpha \varrho\bbu +\frac{1}{2}\Div\sex{\varrho\bbu\otimes\bbu} +\frac{1}{2}\varrho\bbu\cdot\n\bbu\\ \quad\quad\quad \quad\quad\quad -\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n\sex{\varrho^\gamma+\delta(\varrho^2+\varrho^\beta)} =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$

4. 极限过程. 为保证密度的强收敛性, 我们选取如下的极限过程:

ε \to 0 + ? α \to 0 + ? δ \to 0 + .

$\bex \ve\to 0^+\ra \alpha\to 0^+\ra \delta\to 0^+. \eex$

4.1. 消失椭圆正则化. 不写那么多了, 关键是

? \in L 2 ? ? ? ? 重整化解 ? θ ˉ ˉ ˉ 1 θ 适合方程 (利用有效粘性通量, 0 < θ < 1) ? α 的 L 1 强收敛性 .

$\bex \varrho\in L^2&\ra& \varrho\mbox{ 重整化解}\\ &\ra& {\overline{\varrho^\theta}}^\frac{1}{\theta}\mbox{ 适合方程} (\mbox{利用有效粘性通量},\ 0<\theta<1)\\ &\ra& \varrho_\alpha\mbox{ 的 }L^1\mbox{ 强收敛性}. \eex$

4.2. 消失 damping. 基本上同上.

4.3. 消失人工压力. 直观上通过 Riesz 变化得到

? \in L s (γ), s (γ) = ? ? ? 3 (γ ? 1), 2 γ, 3 2 < γ \leq 3, γ \geq 3.

$\bex \varrho\in L^{s(\gamma)},\ s(\gamma)=\left\{\ba{ll} 3(\gamma-1),&\frac{3}{2}<\gamma\leq 3,\\ 2\gamma,&\gamma\geq 3. \ea\right. \eex$ 故而当

γ≥5/3

$\gamma\geq5/3$ 时,

?∈L

$\varrho\in L^2$ , 而同上讨论. 当

3/2<γ<5/3

$3/2<\gamma<5/3$ 时, 我们去 cut-off:

∥ ? δ ? ? ∥ 1 \leq \equiv ∥ ? δ ? T k (? δ) ∥ 1 + ∥ T k (? δ) ? T k (?) ∥ 1 + ∥ T k (?) ? ? ∥ 1 I 1 + I 2 + I 3,

$\bex \sen{\varrho_\delta-\varrho}_1 &\leq&\sen{\varrho_\delta-T_k(\varrho_\delta)}_1 +\sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_1 +\sen{T_k(\varrho)-\varrho}_1\\ &\equiv&I_1+I_2+I_3, \eex$ 其中

T k (t) = {t, k, t \leq k, t \geq k .

$\bex T_k(t)=\left\{\ba{ll} t,&t\leq k,\\ k,&t\geq k. \ea\right. \eex$

$I_1$ ,

$I_3$ 可类似估计:

I 3 = \leq \leq \to ∥ ∥ (? ? k) 1 ? \geq k ∥ ∥ 1 ∥ ? ∥ s (γ) | {? \geq k} | 1 ? 1 s ( γ ) C (M k) 1 ? 1 s ( γ ) 0 (k \to + \infty) .

$\bex I_3&=&\sen{(\varrho-k)1_{\varrho\geq k}}_1\\ &\leq& \sen{\varrho}_{s(\gamma)} \sev{\sed{\varrho\geq k}}^{1-\frac{1}{s(\gamma)}}\\ &\leq&C\sex{\frac{M}{k}}^{1-\frac{1}{s(\gamma)}}\\ &\to&0\quad\sex{k\to+\infty}. \eex$ 仅须考虑

I 2 = ∥ T k (? δ) ? T k (?) ∥ 1,

$\bex I_2=\sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_1, \eex$ 这是(有限)密度震荡, 直观上应有很好的正则性. 联系方程

(1)

$\eqref{eq}_2$ , 我们导入

lim δ \to 0 + ∥ T k (? δ) ? T k (?) ∥ γ + 1 \leq C

$\bex \lim_{\delta\to 0^+} \sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_{\gamma+1}\leq C \eex$ (参见张祖锦, 密度的震荡控制, 家里蹲大学数学杂志. 第 2 卷第 31 期, (2011), 195--195.), 而也通过 cut-off 有

$\varrho$ 适合重整化. 最后由

lim δ \to 0 + ∥ T k (? δ) ? T k (?) ∥ γ + 1 \leq (λ + 2 μ) \int d i v u T k (?) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ? d i v u T k (?) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ = (λ + 2 μ) \int ? d i v L k (?) ? d i v u T k (?) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ (L k (t) = {t ln t, t ln k + t ? k, t \in [0, k), t \in [k, \infty) 满足 t L' k (t) ? L k (t) = T k (t)) = (λ + 2 μ) \int d i v (T k (?) ? T k (?) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ) (d i v (L k (?) u) + T k (?) d i v u = 0) \leq (λ + 2 μ) ∥ d i v u ∥ 2 ∥ ∥ T k (?) ? T k (?) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ∥ ∥ γ ? 1 2 γ 1 ∥ ∥ T k (?) ? T k (?) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ∥ ∥ γ + 1 2 γ γ + 1 \leq C (∥ T k (?) ? ? ∥ 1 + ∥ ∥ T k (?) ? ? ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ∥ ∥ 1) γ ? 1 2 γ \to 0 (k \to \infty)

$\bex & &\lim_{\delta\to 0^+} \sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_{\gamma+1}\\ & &\leq (\lambda+2\mu) \int \overline{\Div\bbu T_k(\varrho)}-\Div\bbu\overline{T_k(\varrho)}\\ & &=(\lambda+2\mu) \int -\Div L_k(\varrho)-\Div\bbu\overline{T_k(\varrho)}\\ & &\quad\sex{L_k(t)= \left\{\ba{ll} t\ln t,&t\in [0,k),\\ t\ln k+t-k,&t\in [k,\infty) \ea\right.\mbox{ 满足 }tL_k‘(t)-L_k(t)=T_k(t)}\\ & &=(\lambda+2\mu) \int \Div\sex{T_k(\varrho)-\overline{T_k(\varrho)}}\\ & &\quad\sex{\Div\sex{L_k(\varrho)\bbu}+T_k(\varrho)\Div\bbu=0}\\ & &\leq (\lambda+2\mu) \sen{\Div\bbu}_2 \sen{T_k(\varrho)-\overline{T_k(\varrho)}}_1^\frac{\gamma-1}{2\gamma} \sen{T_k(\varrho)-\overline{T_k(\varrho)}}_{\gamma+1}^ \frac{\gamma+1}{2\gamma}\\ & &\leq C\sex{\sen{T_k(\varrho)-\varrho}_1 +\sen{\overline{T_k(\varrho)-\varrho}}_1}^\frac{\gamma-1}{2\gamma}\\ & &\to 0\quad \sex{k\to\infty} \eex$ 知

→0 (k→∞, δ→0

)

$I_2\to 0\ (k\to\infty,\ \delta\to 0^+)$ .

至此, $\eqref{eq}$ 弱解的存在性证毕.

来源: 家里蹲大学数学杂志第2卷第33期稳态可压Navier-Stokes方程弱解的存在性

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