回溯法之符号三角形问题

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1. /*回溯法解符号三角形问题 
2.  
3. 问题描述： 
4. 如下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形, 2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。 
5. - + + - + + +  
6.  - + - - + +  
7.   - - + - +  
8.    + - - -  
9.     - + +  
10.      - +  
11.       - 
12. 在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号, 符号三角形问题要求对于给定的n， 
13. 计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。 
14.  
15. 解题思路： 
16. 1、不断改变第一行每个符号，搜索符合条件的解，可以使用递归回溯 
17. 为了便于运算，设+ 为0，- 为1，这样可以使用异或运算符表示符号三角形的关系 
18. ++为+即0^0=0, --为+即1^1=0, +-为-即0^1=1, -+为-即1^0=1; 
19.  
20. 2、因为两种符号个数相同，可以对题解树剪枝， 
21. 当所有符号总数为奇数时无解，当某种符号超过总数一半时无解 
22.  
23. 参考了学习资料，重新实现以练习，有疏漏之处敬请指正zd163boy@163.com。 
24. 杨小进，17:13 2009-8-5  
25. */  
26. #include"iostream"  
27. using namespace std;  
28. typedef unsigned char uchar;  
29.   
30. char cc[2]={‘+‘,‘-‘};   //便于输出  
31. int n,                  //第一行符号总数  
32.     half,               //全部符号总数一半  
33.     counter;            //1计数，即“-”号计数  
34.       
35. uchar **p;              //符号存储空间      
36. long sum;               //符合条件的三角形计数  
37.   
38. //t，第一行第t个符号  
39. void Backtrace(int t)  
40. {  
41.     int i, j;  
42.       
43.     if( t > n )  
44.     {//符号填充完毕  
45.         sum++;  
46.           
47.         //打印符号  
48.         cout << "第" << sum << "个:/n";  
49.         for(i=1; i<=n; ++i)  
50.         {  
51.             for(j=1; j<i; ++j)  
52.             {  
53.                 cout << " ";  
54.             }  
55.               
56.             for(j=1; j<=n-i+1; ++j)  
57.             {  
58.                 cout << cc[ p[i][j] ] << " ";  
59.             }  
60.             cout << "/n";  
61.         }  
62.     }  
63.     else  
64.     {  
65.        for(i=0; i<2; ++i)  
66.        {  
67.             p[1][t] = i;        //第一行第t个符号  
68.             counter += i;       //“-”号统计  
69.               
70.             for(j=2; j<=t; ++j)  //当第一行符号>=2时，可以运算出下面行的某些符号  
71.             {  
72.                 p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];//通过异或运算下行符号  
73.                 counter += p[j][t-j+1];                       
74.             }  
75.   
76.             if( (counter <= half) && ( t*(t+1)/2 - counter <= half) )  
77.             {//若符号统计未超过半数，并且另一种符号也未超过半数  
78.                 Backtrace(t+1);         //在第一行增加下一个符号  
79.             }  
80.               
81.             //回溯，判断另一种符号情况  
82.             for(j=2; j<=t; ++j)    
83.             {  
84.                 counter -= p[j][t-j+1];  
85.             }  
86.                
87.             counter -= i;  
88.        }  
89.     }  
90. }  
91.   
92. int main()  
93. {     
94.     cout << "请输入第一行符号个数n：";  
95.     cin >> n;  
96.     counter = 0;  
97.     sum = 0;  
98.     half = n*(n+1)/2;  
99.     int i=0;  
100.       
101.     if( half%2 == 0 )  
102.     {//总数须为偶数，若为奇数则无解  
103.         half /= 2;  
104.         p = new uchar *[n+1];  
105.   
106.         for(i=0; i<=n; ++i)  
107.         {  
108.            p[i] = new uchar[n+1];  
109.            memset(p[i], 0, sizeof(uchar)*(n+1));  
110.         }  
111.              
112.         Backtrace(1);  
113.         for(i=0; i<=n; ++i)  
114.         {  
115.             delete[] p[i];  
116.         }  
117.         delete[] p;  
118.     }  
119.       
120.     cout << "/n总共 " << sum << " 个"<< endl;  
121.     return 0;  
122. }  

回溯法之符号三角形问题

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