标签：正交向量 schmidt 正交化 线性代数
1、标准正交矩阵
假设矩阵Q有列向量q1,q2,...,qn表示，且其列向量满足下式：
则
若Q为方阵，由上面的式子则有
我们举例说明上述概念：
2、标准正交矩阵的好处
上面我们介绍了标准正交矩阵，那么标准正交矩阵的用处在哪？下面以两方面来说明标准正交矩阵的用处：
求解Ax=b
当矩阵A为标准正交矩阵Q时，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为：
可以发现，求x时不需要矩阵Q的逆，只需要知道转置即可，这样简化了计算。
求解投影矩阵
当矩阵A为标准正交矩阵Q时，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为：
这样就将投影矩阵简单化了。
3、Gram-Schmidt正交化
任何复杂问题的求解都可以从简单的问题出发。聪明的数学家不会羞于考虑小问题，因为当最简单的情况弄得明明白白时，一般的形式就容易理解了。并且，简单的情况不仅帮我们发现一般的公式，而且还提供了一种便利的核查方法，看看我们是否犯下了愚蠢的错误。下面我们就从简单的二维情况讨论：
二维情况
假设原来的矩阵为[a,b]，a,b为线性无关的二维向量，下面我们通过Gram-Schmidt正交化使得矩阵A为标准正交矩阵：
假设正交化后的矩阵为Q=[A,B],我们可以令A=a，那么我们的目的根据AB=I来求B。如下面的二维情况所示，B的方向与A成90度。图中还表明，B可以表示为b向量与b向量在a上的投影的误差向量。由《正交投影》中的结论可知，有如下关系成立：
三维情况
假设原来的矩阵为[a,b,c]，a,b,c为线性无关的二维向量，正交化后的矩阵为Q=[A,B,C],我们可以令A=a，则可以根据二维情况得到如下猜想：
上式显然满足AB=0,AC=0,BC=0。
下面我们用实例说明正交化的过程：
假设矩阵为[a,b]
则由二维情况的结论可知：
把具体数值代入得：
经过归一化得：
Q即是我们经过正交化后的正交矩阵。
原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41775545
作者：nineheadedbird
【线性代数】标准正交矩阵与Gram-Schmidt正交化
标签：正交向量 schmidt 正交化 线性代数
原文地址：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41775545
