[NOIP2014普及组]螺旋矩阵

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题目地址：

ayyzvijos:http://pingce.ayyz.cn/vijos/Problem_Show.asp?id=2017

vijos:https://vijos.org/p/1913

COGS:http://218.28.19.228/cogs/problem/problem.php?pid=1811

题目来源：NOIP2014普及组第三题

问题分析：这道题的内容很易懂，而且容易实现，即直接构造出一个螺旋矩阵，输出对应位置即可。这样的方法大概可以过掉50%的数据。但是，对于100%的数据，n最大可以到30000，如果直接开这么大数组的话，肯定要爆0（内存溢出）。这说明这道题一定有更好的方法。

读题发现，只需输出1个位置的数值即可，而开数组的话，相当于求出了n²个位置，浪费了很多空间。解决办法肯定是不求那些没用的位置，只求一个位置即（i,j）。题中的螺旋矩阵有一个特点，即在每一个正方形边上（如图中线1、2、3），都是螺旋式递增的：

这给了我们一个信息，只要求出（i,j）位置所在的层数，就可以递推得到这个位置的值。观察图形，我们可以得到这个公式：

 a[i,j]=该位置所在层的左上角数的值+从左上角到（i,j）顺时针前进的距离-1

例如，在上图中，若求位置为(6,3)位置的值，可以先求出它在第2层，第二层左上角是25，它到点（6,3）的距离为5+1=6，因此a[6,3]=25+6-1=30。思路有了，接下来还有三个问题：

1、如何求层数；

2、如何求这一层左上角位置对应的值；

3、如何求从左上角到这个点前进的距离。

对于问题1，不难发现，点(i,j)所在的层数为：（四个值分别对应(i,j)在上边、左边、下边、右边的情况）

 cengshu=min{i,j,n-i+1,n-j+1}

对于问题2，有了层数之后，从最外层往里推，从第1层（最外层）到所在层的上一层的格子数总和+1也就是这层左上角的值了。通过图，我们知道,在7*7的矩阵中，第一层格子数为24=4*（7-1*2+1），第二层格子数为16=4*(7-2*2+1)，第三层格子数为8=4*(7-3*2+1)，因此，第x层的格子数为 4*(n-2*x+1) （在这里不做严谨证明），然后层层累加即可。

对于问题3，只需分四种情况讨论，详情看代码。

这样，通过数学方法，我们可以快速求出a[i,j]，省去了大量时间、空间。

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)

参考代码：

program matrix;
var
n,i,j,k,l,m,ceng,qishi,bianj1,bianj3:longint;
begin
assign(input,‘matrix.in‘);
reset(input);
assign(output,‘matrix.out‘);
rewrite(output);
readln(n,i,j);
k:=i;
ceng:=i;
if j<ceng then ceng:=j;
if (n-i+1)<ceng then ceng:=n-i+1;
if (n-j+1)<ceng then ceng:=n-j+1;
for k:=1 to ceng-1 do inc(qishi,(n-k*2+1)*4);
qishi:=qishi+1;
if (n mod 2=1)and(ceng=n div 2+1) then begin
writeln(n*n);
close(input);
close(output);
halt;
end;
bianj1:=ceng;
bianj3:=n-ceng+1;
if (i=bianj1)and(j<bianj3) then writeln(qishi+(j-bianj1));
if (j=bianj3)and(i<bianj3) then writeln(qishi+(bianj3-bianj1)+(i-bianj1));
if (i=bianj3)and(j>bianj1) then writeln(qishi+(bianj3-bianj1)*2+(bianj3-j));
if (j=bianj1)and(i>bianj1) then writeln(qishi+(bianj3-bianj1)*3+(bianj3-i));
close(input);
close(output);
end.

matrix.pas

[NOIP2014普及组]螺旋矩阵

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原文地址：http://www.cnblogs.com/changke/p/4150846.html